Во сколько раз увеличивается напряженность электрического поля на поверхности большой капли по сравнению с поверхностью

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо воспользоваться законом сохранения заряда и формулой для вычисления напряженности электрического поля на поверхности сферы.

Первым шагом определим заряд каждой маленькой капли ртути. Пусть \( Q \) - заряд одной маленькой капли ртути, а \( N = 125 \) - количество маленьких капель. Тогда общий заряд всех маленьких капель будет равен произведению заряда одной капли на их количество:
\[ Q_{\text{общий}} = Q \times N \]

Далее, мы знаем, что после объединения маленьких капель, получится одна большая капля. Согласно закону сохранения заряда, заряд будет сохраняться. Поэтому общий заряд большой капли также будет равен \( Q_{\text{общий}} \).

Теперь воспользуемся формулой для вычисления напряженности электрического поля на поверхности сферы:
\[ E = \frac{{k \cdot Q_{\text{объёма}}}}{{R^2}} \]

Где \( E \) - напряженность электрического поля, \( k \) - постоянная Кулона (\( k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( Q_{\text{объёма}} \) - заряд объёма сферы, а \( R \) - радиус сферы.

У нас есть следующие данные:
- Заряд одной капли \( Q_{\text{маленькой}} = Q \)
- Заряд большой капли \( Q_{\text{большой}} = Q_{\text{общий}} = Q \times N \)

Теперь нам нужно определить, во сколько раз увеличивается радиус большой капли по сравнению с радиусом маленькой капли. Пусть \( r_{\text{маленькой}} \) - радиус маленькой капли, а \( r_{\text{большой}} \) - радиус большой капли. Радиус капли пропорционален третьему корню от объема капли, поэтому отношение радиусов будет следующим:
\[ \frac{{r_{\text{большой}}}}{{r_{\text{маленькой}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{V_{\text{большой}}}}{{V_{\text{маленькой}}}}}} \]

Теперь мы можем выразить \( V_{\text{большой}} \) и \( V_{\text{маленькой}} \) через радиусы и получить отношение:
\[ \frac{{r_{\text{большой}}}}{{r_{\text{маленькой}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{Q_{\text{большой}}}}{{Q_{\text{маленькой}}}}}} \]

Зная данное отношение, мы можем выразить увеличение напряженности электрического поля на поверхности большой капли по сравнению с маленькой. Обозначим его как \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{{E_{\text{большой}}}}{{E_{\text{маленькой}}}} \]

Теперь подставим выражения для напряженности электрического поля и отношение радиусов:
\[ \lambda = \frac{{\frac{{k \cdot Q_{\text{объёма, большой}}}}}{{r_{\text{большой}}^2}}}}{{\frac{{k \cdot Q_{\text{объёма, маленькой}}}}}{{r_{\text{маленькой}}^2}}} \]
\[ \lambda = \frac{{Q_{\text{объёма, большой}}}}{{Q_{\text{объёма, маленькой}}}} \cdot \frac{{r_{\text{маленькой}}^2}}{{r_{\text{большой}}^2}} \]
\[ \lambda = \frac{{Q_{\text{большой}}}}{{Q_{\text{маленькой}}}} \cdot \frac{{r_{\text{маленькой}}^2}}{{r_{\text{большой}}^2}} \]
\[ \lambda = \left( \frac{{r_{\text{большой}}}}{{r_{\text{маленькой}}}} \right)^{-2} \]
\[ \lambda = \left( \sqrt[3]{{\frac{{Q_{\text{большой}}}}{{Q_{\text{маленькой}}}}}} \right)^{-2} \]

Таким образом, для решения задачи нам нужно возвести отношение зарядов большой и маленькой капель в степень -2.

\( \lambda = \left( \sqrt[3]{\frac{{Q_{\text{большой}}}}{{Q_{\text{маленькой}}}}} \right)^{-2} \)

Подставляем значение зарядов:
\( \lambda = \left( \sqrt[3]{\frac{{Q \times N}}{{Q}}} \right)^{-2} \)

Упрощаем выражение:
\( \lambda = \left( \sqrt[3]{N} \right)^{-2} \)

Окончательный ответ:
Увеличение напряженности электрического поля на поверхности большой капли по сравнению с поверхностью маленькой капли равно квадрату кубического корня от количества маленьких капель ртути, объединенных в одну.