Вершины трапеции находятся на одинаковом расстоянии от середины ее боковой стороны. Докажите, что трапеция является

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть O - середина боковой стороны AD.

Так как вершины трапеции находятся на одинаковом расстоянии от середины ее боковой стороны, то это означает, что точки A и C равноудалены от точки O. Обозначим эту расстояние через h.

Теперь рассмотрим треугольники ABO и CDO. У этих треугольников есть общая сторона BO. Также, из условия задачи, стороны AO и CO равны, так как вершины трапеции находятся на одинаковом расстоянии от точки O.

Поэтому треугольники ABO и CDO являются равнобедренными. Это означает, что у них равны боковые стороны AO и CO, а также равны углы ABO и CDO.

Так как углы ABO и CDO равны, и углы BOC и DOA являются смежными углами, то они тоже равны.

Теперь рассмотрим четырехугольник BOCO. У него две пары равных смежных углов - это углы BOC и DOA, и углы BCO и ODC.

Из свойства четырехугольника, сумма внутренних углов равна 360 градусов. Значит, углы BOC, DOA, BCO и ODC в сумме дают 360 градусов.

Мы уже знаем, что углы BOC и DOA равны, поэтому их сумма равна 2x, где x - величина каждого из этих углов.

Также углы BCO и ODC равны, и их сумма также равна 2x.

Получаем уравнение: 2x + 2x = 360 градусов.

Решим это уравнение: 4x = 360 градусов, x = 90 градусов.

Значит, каждый из углов BOC, DOA, BCO и ODC равен 90 градусов.

Так как углы BOC и BCO являются смежными и дополняющими, то их сумма равна 180 градусов. То же самое можно сказать о углах DOA и ODC.

Таким образом, каждый из углов BOC, DOA, BCO и ODC равен 90 градусов. То есть, все углы данной трапеции прямые.

Таким образом, мы доказали, что если вершины трапеции находятся на одинаковом расстоянии от середины ее боковой стороны, то эта трапеция является прямоугольной.