Верифицировать, что всегда можно выбрать три острых угла – а, в, с, так, чтобы все попарные их суммы а + в, а + с

Для начала, давайте разберем условие задачи. Нам нужно проверить, можно ли всегда выбрать три острых угла (обозначим их \(a\), \(b\), \(c\)), так, чтобы суммы каждых двух углов (\(a+b\), \(a+c\), \(b+c\)) либо одновременно превышали 90°, либо не превышали этого значения.

Чтобы решить эту задачу, допустим, что мы выбрали три произвольных острых угла: \(a\), \(b\), \(c\). Для простоты будем считать, что \(a \leq b \leq c\).

Теперь нам нужно проверить условие задачи: все попарные суммы должны либо превышать 90°, либо не превышать этого значения.

1. Предположим, что \(a+b \leq 90°\). Учитывая, что \(a \leq b\), получаем \(2a \leq a+b \leq 90°\). Из этого следует, что \(a \leq 45°\). Таким образом, наибольший из наших углов, \(c\), не может быть больше 45°, поскольку его сумма с любым другим углом должна превышать 90°.

2. Предположим, что \(a+c \leq 90°\). Из этого следует, что \(b \leq 90° - a\). Максимальное значение \(b\) будет достигаться в случае, когда \(a\) равно 45°, а \(c\) равно 45°. В этом случае, \(b\) равно 0°, что противоречит условию задачи (все углы должны быть острыми).

3. Предположим, что \(b+c \leq 90°\). Из этого следует, что \(a \leq 90° - b\). Максимальное значение \(a\) будет достигаться в случае, когда \(b\) равно 45°, а \(c\) равно 45°. В этом случае, \(a\) равно 0°, что также противоречит объективу (все углы должны быть острыми).

Из вышесказанного следует, что невозможно выбрать три острых угла \(a\), \(b\), \(c\), такие, чтобы все попарные суммы (\(a+b\), \(a+c\), \(b+c\)) одновременно превышали 90° или не превышали этого значения. Задача не имеет решения.

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять ответ на задачу. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!