Вариант I 1. Условие: AO = BO, CO = DO, CO = 5 см, BO = 3 см, BD = 4 см (см. рисунок 1). Задача: найти периметр

1. Первое, что нам нужно сделать, это найти длину отрезка AO. Мы знаем, что AO равно BO, и BO равно 3 см. Таким образом, AO тоже равно 3 см.

2. Теперь нам нужно найти длину отрезка AD. Мы знаем, что CO равно DO и CO равно 5 см. Таким образом, DO тоже равно 5 см.

3. Известно, что CO равно 5 см, а BD равно 4 см. Теперь мы можем найти длину отрезка CD, применив теорему Пифагора. Так как CO и BD являются катетами, а CD - гипотенузой, мы можем написать уравнение:

\((CD)^2 = (CO)^2 + (BD)^2\)

\((CD)^2 = (5)^2 + (4)^2\)

\((CD)^2 = 25 + 16\)

\((CD)^2 = 41\)

Теперь найдем длину отрезка CD, извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\(CD = \sqrt{41}\)

4. Теперь, когда у нас есть длины всех трех сторон треугольника DSA, мы можем найти его периметр, сложив длины всех трех сторон:

Периметр DSA = DA + AS + SD

Периметр DSA = BC + CD + BD

Периметр DSA = 3 + \sqrt{41} + 4

Периметр DSA = \(\sqrt{41} + 7\) см

Таким образом, периметр треугольника DSA равен \(\sqrt{41} + 7\) см.

2. Мы имеем равнобедренный треугольник ABC с медианой BD. Для доказательства равенства треугольников BKD и BMD нам нужно показать, что их стороны равны.

Мы знаем, что точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. Это означает, что отрезки AK и KC, а также BM и MC, являются равными.

Также мы знаем, что BD - медиана треугольника ABC. Это означает, что отрезок BD делит сторону AC пополам, то есть AD равно DC.

Теперь давайте рассмотрим треугольники BKD и BMD. У них есть следующие стороны:

- Сторона BK равна BM, так как K и M являются серединами боковых сторон AB и BC.

- Сторона BD равна себе самой, так как BD - медиана треугольника ABC.

- Сторона KD равна MD, так как KD и MD образованы отрезками BK и BM, которые являются равными.

Таким образом, мы видим, что все стороны треугольников BKD и BMD равны, а значит, по определению равенства треугольников, треугольники BKD и BMD равны.

3. Чтобы построить точки на сторонах неразвернутого угла, удаленные от вершины на расстояние, равное половине заданного отрезка, нам нужно выполнить следующие шаги:

- Возьмите угол и на его сторонах отметьте точку на расстоянии, равном половине заданного отрезка.

- Соедините все полученные точки с вершиной угла.

- Мы имеем теперь три новые точки, отмеченные на сторонах исходного угла.

4*. Нам дано, что прямая МК делит плоскость на две полуплоскости, а из точек М и К в разные полуплоскости проведены равные отрезки МА и КА. Давайте рассмотрим эту ситуацию.

- Пусть О будет серединой отрезка МК. Тогда ОA - медиана треугольника МК.

- У нас есть равенство ОА = ОА, так как длины отрезков из точек М и К равны.

-У нас также есть равенство МА = КА, так как эти отрезки равны.

- Известно, что ОA - медиана треугольника МК, а МА равно КА.

Теперь мы можем применить теорему о равенстве медиан и сказать, что треугольники МКО и МАК равны.