Вариант I. 1. Перечислите утверждения, которые верны: 1) Если KLMN является ромбом и O - точка пересечения

Решение задачи:

1.
1) Если KLMN является ромбом и O - точка пересечения его диагоналей, то угол KOL равен 90 градусов.
Данное утверждение верно, так как в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом.

2) Если KLMN является ромбом, то KM равно LN.
Данное утверждение также верно, так как в ромбе все стороны равны между собой, следовательно, KM равно LN.

3) Если KILMN является прямоугольником, то угол LKM равен углу NKM.
Данное утверждение неверно. В прямоугольнике углы LKM и NKM будут равны между собой, но они могут не быть прямыми.

4) Если KLMN является прямоугольником, то KM равно LN.
Данное утверждение также верно. В прямоугольнике противоположные стороны равны между собой, поэтому KM равно LN.

2.
МК является средней линией треугольника BCD (M принадлежит BC, K принадлежит BD).
Так как МК является средней линией, то она делит параллельные стороны треугольника BCD пополам.
Следовательно, BK = KC и MD = DC.

BC равно BD равно 8, а CD равно 6.
Так как BC равно BD, то BK = KC = BD/2 = 8/2 = 4. Также, MD = DC = CD/2 = 6/2 = 3.

Найдите периметр трапеции MKDC.
Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон. Для этой трапеции стороны можно найти следующим образом:

AB = AC + BC = 12 + 8 = 20 (сумма длин сторон AB и BC треугольника ABC)
MD = DC = 3 (из предыдущих вычислений)
KC = BK = 4 (из предыдущих вычислений)

Периметр трапеции MKDC = AB + MD + DC + KC = 20 + 3 + 3 + 4 = 30.

Ответ: Периметр трапеции MKDC равен 30.

3.
В треугольнике АВС из вершины В опущена высота BD равная 5, которая делит сторону AC на отрезки AD равный 12.

Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора.

Из условия задачи известны:
BD = 5
AD = 12

Мы можем найти значение сторон треугольника по следующим формулам:

AC = sqrt(AD^2 + CD^2) (теорема Пифагора)
BD = CD * AD / AC (отношение высоты треугольника к сторонам)

Заменим известные значения и найдем CD:

5 = CD * 12 / AC

Найдем AC:
AC = sqrt(AD^2 + CD^2)
AC = sqrt(12^2 + CD^2)

Теперь можем решить уравнение:

5 = CD * 12 / sqrt(12^2 + CD^2)

Для упрощения вычислений возведем обе части уравнения в квадрат:

25 = (CD * 12)^2 / (12^2 + CD^2)

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

25 * (12^2 + CD^2) = (CD * 12)^2

Раскроем степени на обеих сторонах:

25 * (12^2 + CD^2) = CD^2 * 12^2

Раскроем скобки:

(12^2*25) + (25*CD^2) = CD^2 * 12^2

Распишем:

14400 + 25CD^2 = 144CD^2

Перенесем все слагаемые, содержащие CD^2, на одну сторону уравнения:

144CD^2 - 25CD^2 = 14400

Получаем:

119CD^2 = 14400

Разделим обе части уравнения на 119:

CD^2 = 14400 / 119

Вычислим:

CD^2 ≈ 121.0084

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

CD ≈ sqrt(121.0084)

CD ≈ 11

Теперь найдем AC:

AC = sqrt(12^2 + CD^2)
AC = sqrt(12^2 + 11^2)
AC = sqrt(144 + 121)
AC = sqrt(265)
AC ≈ 16.2788

Ответ: CD ≈ 11, AC ≈ 16.279.