Вариант 1 1) Графически изображен наклонный рисунок плоскости альфа с отрезками МВ, МD и перпендикуляром МС. Задайте

к стороне BC. Найдите длину этого перпендикуляра. Вариант 2 1) Треугольник ABC разносторонний. Докажите, что его высоты, проведенные из вершин A, B, и C, пересекаются в одной точке. 2) В треугольнике ABC проведены медианы AM, BN и CK. Докажите, что точки пересечения медиан образуют треугольник, площадь которого равна четверти площади треугольника ABC. 3) Длины сторон треугольника ABC равны: AB = 5, BC = 6 и AC = 7. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

1) Задание а) Нам дан наклонный рисунок плоскости альфа с отрезками МВ, МD и перпендикуляром МС. Чтобы задать правильные неравенства, нужно провести следующие сравнения отрезков:
Отрезок ВС меньше отрезка СМ, если BC < CM.
Отрезок МС больше отрезка MD, если MC > MD.
Отрезок МС больше отрезка МB, если MC > MB.
Отрезок МВ меньше отрезка МD, если MB < MD.

2) Задание: Основой прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник с размерами 9 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда равна 17 см. Чтобы найти третье измерение параллелепипеда, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором катетами являются стороны прямоугольника, а гипотенузой - диагональ параллелепипеда. Пусть третье измерение параллелепипеда равно h. Тогда, используя теорему Пифагора, получим:
\(h^2 = 17^2 - 9^2 - 12^2\).
Решим это уравнение и получим значение для h.

3) Задание: Прямоугольник ABCD имеет стороны длиной 7 см и 7√3 см. Через точку пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр к стороне BC. Чтобы найти длину этого перпендикуляра, воспользуемся свойством прямоугольника, которое гласит, что середина диагонали прямоугольника является центром окружности, описанной около этого прямоугольника. Таким образом, треугольник BCM является прямоугольным, и его высота, проведенная к стороне BC, является радиусом описанной окружности. Определим радиус описанной окружности, воспользовавшись формулой для радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника:
\(r = \frac{abc}{4S}\),
где a, b, c - длины сторон треугольника, а S - его площадь.
Найдём площадь треугольника BCM, используя формулу Герона:
\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\),
где p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).
Затем находим радиус описанной окружности по формуле, и это будет искомая длина перпендикуляра. Округлим результат до нужной точности.

4) Задание а) Для доказательства того, что высоты треугольника ABC, проведенные из вершин A, B и C, пересекаются в одной точке, мы можем использовать две теоремы: теорему Вивиана-Даламбера и теорему Барроу.
Теорема Вивиана-Даламбера утверждает, что если из вершин треугольника параллельно соответствующим его сторонам провести линии, то точки их пересечения лежат на одной прямой.
Теорема Барроу утверждает, что в любом треугольнике, сумма квадратов длин трех высот равна сумме квадратов длин трех сторон.
Исходя из этих теорем, мы можем заключить, что высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке.

5) Задание: В треугольнике ABC проведены медианы AM, BN и CK. Чтобы доказать, что точки пересечения медиан образуют треугольник, площадь которого равна четверти площади треугольника ABC, мы можем использовать свойства медиан треугольника. Одно из таких свойств гласит, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если точка пересечения медиан обозначается точкой G, то отрезок AG будет равен двум третьим отрезка MG. Аналогично для других медиан. Зная это соотношение, мы можем выразить отношение площадей треугольников AGM, BGN и CGK к площади треугольника ABC. Затем, сложив эти площади, получим требуемое равенство.

6) Задание: Длины сторон треугольника ABC равны AB = 5, BC = 6 и AC = 7. Чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника ABC, воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности треугольника:
\(r = \frac{S}{p}\),
где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, а p - полупериметр треугольника.
Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:
\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\),
где a, b, c - длины сторон треугольника, а p - его полупериметр.
Затем найдём полупериметр треугольника и используем формулу для нахождения радиуса вписанной окружности.
Округлим результат до нужной точности.