Вариант 1 1. Чему равно скалярное произведение векторов AB и AC, CD и D1D, AB1 и DC1, B1A и B1C, AC1 и AC?

Вариант 1

1. Чтобы найти скалярное произведение векторов, нам необходимо умножить соответствующие координаты векторов и прибавить результаты.

Для векторов AB и AC:
Пусть вектор AB имеет координаты (x1, y1, z1), а вектор AC - (x2, y2, z2).
Тогда скалярное произведение AB и AC вычисляется следующим образом:
AB · AC = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

Для векторов CD и D1D:
Пусть вектор CD имеет координаты (x1, y1, z1), а вектор D1D - (x2, y2, z2).
Тогда скалярное произведение CD и D1D вычисляется следующим образом:
CD · D1D = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

Для векторов AB1 и DC1:
Пусть вектор AB1 имеет координаты (x1, y1, z1), а вектор DC1 - (x2, y2, z2).
Тогда скалярное произведение AB1 и DC1 вычисляется следующим образом:
AB1 · DC1 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

Для векторов B1A и B1C:
Пусть вектор B1A имеет координаты (x1, y1, z1), а вектор B1C - (x2, y2, z2).
Тогда скалярное произведение B1A и B1C вычисляется следующим образом:
B1A · B1C = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

Для векторов AC1 и AC:
Пусть вектор AC1 имеет координаты (x1, y1, z1), а вектор AC - (x2, y2, z2).
Тогда скалярное произведение AC1 и AC вычисляется следующим образом:
AC1 · AC = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2

2. Чтобы доказать, что вектор а перпендикулярен вектору б, нам необходимо убедиться, что их скалярное произведение равно нулю.

В данном случае, у нас есть вектор а с координатами (4; 5; -2) и вектор б с координатами (7; -8; -6).
Произведение координат векторов равно: 4*7 + 5*(-8) + (-2)*(-6) = 28 - 40 + 12 = 0.
Таким образом, скалярное произведение вектора а и вектора б равно нулю, что говорит о том, что вектор а перпендикулярен вектору б.

3. Для определения косинуса угла между векторами (a, b) мы воспользуемся формулой.

Косинус угла между векторами (a, b) вычисляется по формуле:
cos θ = (a · b) / (|a| * |b|)

В данном случае, у нас есть вектор а с координатами (1; 2; 2) и вектор б с координатами (4; 0; -3).
Произведение координат векторов равно: 1*4 + 2*0 + 2*(-3) = 4 - 6 = -2.
Модуль вектора а равен: √(1^2 + 2^2 + 2^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Модуль вектора б равен: √(4^2 + 0^2 + (-3)^2) = √(16 + 0 + 9) = √25 = 5.
Подставляя все значения в формулу, получаем:
cos θ = -2 / (3 * 5) = -2 / 15.

Таким образом, косинус угла между векторами (a, b) равен -2 / 15.

4. Чтобы вычислить скалярное произведение вектора а и вектора б, необходимо умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения.

В данном случае, у нас есть вектор а с координатами (a1, a2, a3) и вектор б с координатами (b1, b2, b3).
Скалярное произведение вектора а и вектора б вычисляется следующим образом:
а · б = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3.

В случае вычисления векторного произведения вектора (-а) и вектора б, вектора (-а) и вектора (-б), а также вектора 3а и вектора б, необходимо использовать формулу для векторного произведения векторов. Я замечу, что векторное произведение - это вектор, а не скаляр.

Если у нас есть вектор а с координатами (a1, a2, a3) и вектор б с координатами (b1, b2, b3):
Векторное произведение (-а) и б вычисляется следующим образом:
(-а) × б = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1).

Векторное произведение (-а) и (-б) вычисляется следующим образом:
(-а) × (-б) = (a2*(-b3) - a3*(-b2), a3*(-b1) - a1*(-b3), a1*(-b2) - a2*(-b1)) =
= (a2*(-b3) + a3*b2, a3*(-b1) + a1*b3, a1*(-b2) + a2*b1) = (-a2*b3 - a3*b2, -a3*b1 - a1*b3, -a1*b2 - a2*b1).

Векторное произведение 3а и б вычисляется следующим образом:
3а × б = (3*a2*b3 - 3*a3*b2, 3*a3*b1 - 3*a1*b3, 3*a1*b2 - 3*a2*b1) = (3*(a2*b3 - a3*b2), 3*(a3*b1 - a1*b3), 3*(a1*b2 - a2*b1)).

Надеюсь, данное объяснение помогло вам разобраться с задачами по векторной алгебре. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.