Ваня разделил натуральное число на 5, затем разделил на 6 и в итоге разделил на 11. На каждом шаге у него осталось

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть исходное число, которое Ваня разделил на 5, обозначается как \(x\). После первого деления остаток от деления на 5 равен \(x_1\). Тогда мы можем записать первое уравнение:

\[x \equiv x_1 \pmod{5}\]

Затем Ваня разделил полученное число на 6, и остаток от деления на 6 равен \(x_2\). Мы можем записать второе уравнение:

\[x_1 \equiv x_2 \pmod{6}\]

Наконец, Ваня разделил \(x_2\) на 11, и остаток от деления на 11 равен \(x_3\). Мы можем записать третье уравнение:

\[x_2 \equiv x_3 \pmod{11}\]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти значения \(x\), \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\).

Для начала решим первые два уравнения системы. Рассмотрим первое и второе уравнения:

\[\begin{cases} x \equiv x_1 \pmod{5} \\ x_1 \equiv x_2 \pmod{6} \end{cases}\]

Мы можем заменить \(x_1\) в первом уравнении на \(x_2\), так как они эквивалентны:

\[x \equiv x_2 \pmod{5}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{cases} x \equiv x_2 \pmod{5} \\ x_2 \equiv x_3 \pmod{11} \end{cases}\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Если два уравнения имеют вид:

\[\begin{cases} x \equiv a \pmod{m} \\ x \equiv b \pmod{n} \end{cases}\]

где \(m\) и \(n\) - взаимно простые числа, то решение можно найти следующим образом:

\[x \equiv a \cdot n \cdot n^{-1} + b \cdot m \cdot m^{-1} \pmod{mn}\]

где \(n^{-1}\) и \(m^{-1}\) - обратные элементы по модулю. В нашем случае \(m = 5\) и \(n = 11\), и они взаимно простые, поэтому мы можем применить китайскую теорему об остатках.

Таким образом, мы имеем:

\[x \equiv x_2 \cdot 11 \cdot 11^{-1} + x_3 \cdot 5 \cdot 5^{-1} \pmod{55}\]

Теперь найдем обратные элементы \(11^{-1}\) и \(5^{-1}\) по модулям 55 и 25 соответственно. Обратный элемент по модулю \(m\) существует только тогда, когда \(m\) и обратный элемент взаимно просты. В нашем случае, \(11^{-1}\) и \(5^{-1}\) существуют.

Обратный элемент \(11^{-1}\) по модулю 55 равен 26, так как \(11 \cdot 26 \equiv 1 \pmod{55}\).

Обратный элемент \(5^{-1}\) по модулю 25 равен 21, так как \(5 \cdot 21 \equiv 1 \pmod{25}\).

Теперь мы можем продолжить вычисления:

\[x \equiv x_2 \cdot 11 \cdot 26 + x_3 \cdot 5 \cdot 21 \pmod{55}\]

Теперь нам осталось выразить \(x\) только через \(x_3\). Для этого давайте заметим, что \(x_3\) - это остаток от деления \(x\) на 33. То есть \(x \equiv x_3 \pmod{33}\). Теперь мы можем записать новое уравнение:

\[x \equiv x_2 \cdot 11 \cdot 26 + x_3 \cdot 5 \cdot 21 \equiv x_3 \pmod{33}\]

Сравнивая коэффициенты при \(x_3\) в этом уравнении и в последнем уравнении, полученном с помощью китайской теоремы об остатках, мы можем выразить \(x\) через \(x_3\):

\[x \equiv x_3 \cdot (11 \cdot 26 + 5 \cdot 21) \pmod{33}\]

Вычислив это выражение, мы найдем искомый остаток, который будет у числа Вани при делении на 33.