В ящике есть 18 деталей, из которых 12 - стандартные. Сборщик случайно выбирает две детали. Найти вероятность того

Хорошо, давайте решим задачу по порядку.

1) Для поиска вероятности того, что обе выбранные детали являются стандартными, мы должны разделить количество комбинаций, в которых мы можем выбрать 2 стандартные детали, на общее количество комбинаций для выбора 2 деталей из ящика.

Общее количество комбинаций для выбора 2 деталей из ящика равно количеству сочетаний из 18 по 2, что можно обозначить как \(\binom{18}{2}\) или "18 по 2". Формула для нахождения количества сочетаний из \(n\) по \(k\) выглядит следующим образом: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где символ "!" обозначает факториал.

Мы знаем, что 12 из 18 деталей являются стандартными. Поэтому количество комбинаций, в которых мы можем выбрать 2 стандартные детали, равно количеству сочетаний из 12 по 2, или \(\binom{12}{2}\).

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность. Формула для нахождения вероятности выглядит следующим образом: \[P(\text{событие}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}}\]

Итак, вероятность того, что обе выбранные детали являются стандартными, равна \[P(\text{обе выбранные стандартные}) = \frac{\binom{12}{2}}{\binom{18}{2}}\]

Теперь давайте вычислим это значение.

\(\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 6 \cdot 11 = 66\)

\(\binom{18}{2} = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2!16!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16!}{2! \cdot 16!} = \frac{18 \cdot 17}{2} = 9 \cdot 17 = 153\)

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[P(\text{обе выбранные стандартные}) = \frac{\binom{12}{2}}{\binom{18}{2}} = \frac{66}{153} \approx 0.4314\]

Итак, вероятность того, что обе выбранные детали являются стандартными, составляет около 0.4314 или примерно 43.14%.

2) Теперь рассмотрим вероятность того, что хотя бы одна из двух выбранных деталей является стандартной.

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть противоположное событие: "ни одна из двух выбранных деталей не является стандартной". Вероятность этого события можно вычислить по формуле: \[P(\text{ни одна стандартная}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}}\]

Количество комбинаций, в которых мы можем выбрать 2 детали, не являющихся стандартными, равно количеству сочетаний из 6 по 2, так как в ящике всего 18 деталей, а 12 из них являются стандартными.

Теперь мы можем вычислить это значение:

\(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 6 \cdot 5 = 30\)

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что хотя бы одна из двух выбранных деталей является стандартной, используя противоположное событие:

\[P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - P(\text{ни одна стандартная})\]

\[P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - \frac{\binom{6}{2}}{\binom{18}{2}}\]

Теперь давайте вычислим это значение:

\[P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - \frac{30}{153} = 1 - 0.1961 \approx 0.8039\]

Итак, вероятность того, что хотя бы одна из двух выбранных деталей является стандартной, составляет около 0.8039 или примерно 80.39%.