В треугольнике ABC точка К выбрана на его медиане BM так, что отношение BK:KM = 7:2. Прямая AK пересекает сторону

Для решения данной задачи воспользуемся следующими свойствами треугольников и медианы:

1) Отношение медиан треугольника равно отношению площадей частей, на которые медиана делит треугольник.

2) Отрезок медианы между вершиной и точкой пересечения с основанием делится на две равные части.

Итак, пусть \(S_{AKM}\) - площадь треугольника \(AKM\), а \(S_{KPCM}\) - площадь четырехугольника \(KPCM\).

Так как точка \(К\) находится на медиане треугольника \(ABC\), отношение \(BK:KM = 7:2\). По свойству 2, отрезок \(BM\) делится на две равные части, то есть \(BM = 2KM\).

Так как точка \(Р\) - точка пересечения медианы и прямой \(AK\), согласно свойству 1, отношение медиан треугольника равно отношению площадей частей, на которые медиана делит треугольник. То есть \(\frac{{S_{BKP}}}{{S_{KPC}}} = \frac{{BK}}{{KP}} = \frac{{7}}{{2}}\).

Обратимся к треугольнику \(AKM\). Учитывая соотношение длин отрезков \(BM\) и \(KM\), получаем \(AM = 3KM\). Таким образом, площадь треугольника \(AKM\) составляет половину площади треугольника \(ABC\): \(S_{AKM} = \frac{{1}}{{2}} \cdot S_{ABC}\).

Представим теперь четырехугольник \(KPCM\) как сумму треугольников \(BKP\) и \(KPC\). Таким образом, площадь четырехугольника \(KPCM\) равна сумме площадей этих треугольников: \(S_{KPCM} = S_{BKP} + S_{KPC}\).

Так как \(\frac{{S_{BKP}}}{{S_{KPC}}} = \frac{{7}}{{2}}\), то можно записать \(\frac{{S_{BKP}}}{{S_{KPC}}} = \frac{{S_{BKP} + S_{KPC}}}{{S_{KPC}}} = \frac{{S_{KPCM}}}{{S_{KPC}}}\).

Отсюда получаем, что \(\frac{{S_{KPCM}}}{{S_{KPC}}} = \frac{{7}}{{2}}\).

Теперь подставим все выражения в формулу отношения медиан и площадей, используя полученные равенства:

\(\frac{{S_{AKM}}}{{S_{KPCM}}} = \frac{{S_{AKM}}}{{S_{BKP} + S_{KPC}}} = \frac{{\frac{{1}}{{2}} \cdot S_{ABC}}}{{\frac{{7}}{{2}} \cdot S_{KPC}}} = \frac{{S_{ABC}}}{{7 \cdot S_{KPC}}}\).

Таким образом, отношение площади треугольника \(AKM\) к площади четырехугольника \(KPCM\) равно \(\frac{{S_{ABC}}}{{7 \cdot S_{KPC}}}\).