В трапецию АВСD, у которой боковые стороны СD и AB имеют длины 6 и 10 соответственно, вписана окружность радиусом

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся знания о свойствах вписанных и описанных окружностей в треугольниках.

Обозначим центр описанной окружности как O, а центр вписанной окружности как I. Также обозначим точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции СD и AB как М.

Первым шагом найдем высоту треугольника AВС (отрезок МI).

Из свойства вписанных треугольников, мы знаем, что радиус R описанной окружности равен половине длины гипотенузы вписанного треугольника, а радиус r вписанной окружности равен половине суммы длин сторон внутри треугольника, деленной на полупериметр.

Радиус описанной окружности выражается следующей формулой:
\[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]
где a, b и c - длины сторон треугольника, а S - его площадь.

Радиус вписанной окружности определяется следующей формулой:
\[r = \frac{S}{p}\]
где S - площадь треугольника, а p - полупериметр.

Так как треугольник АВС является прямоугольным, площадь можно легко найти, используя произведение катетов и деление на 2:
\[S = \frac{1}{2} \times AB \times CD\]

После того, как мы найдем высоту треугольника MI, мы сможем найти длину гипотенузы MIС и, следовательно, радиус описанной окружности R, по теореме Пифагора.

Давайте вычислим все эти значения и найдем радиус окружности, описывающей треугольник.

Площадь треугольника AВС:
\[S = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30\]

Полупериметр треугольника AВС:
\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 6 + 2 \times 3}{2} = 11\]

Радиус вписанной окружности:
\[r = \frac{S}{p} = \frac{30}{11}\]

Длина гипотенузы МIС:
\[MIС = AB + CD = 10 + 6 = 16\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления радиуса описанной окружности R:
\[R = \frac{MIС}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

Итак, радиус окружности, описывающей треугольник АВС, равен 8.