В течение своих наблюдений Екатерина заметила, что количество растений одуванчиков на ее участке каждый

Чтобы решить данную задачу, давайте разобьем ее на несколько этапов.

1. Предположим, что на седьмой год Екатерина насчитала \(x\) растений одуванчика на своем участке.
2. По условию, количество растений каждый год увеличивалось в два раза больше, чем в предыдущий год. Значит, на восьмой год количество растений будет в 2 раза больше, чем на седьмой год, то есть \(2x\).
3. Также известно, что на восьмой год Екатерина обнаружила, что на ее участке насчитывалось на 640 растений одуванчика больше, чем на седьмой год. Это можно записать уравнением: \(2x - x = 640\).
4. Вычтем \(x\) из обеих частей уравнения: \(x = 640\).
5. Таким образом, на седьмой год Екатерина насчитала 640 растений одуванчика.
6. Чтобы найти общее количество растений одуванчика за восемь лет, нужно сложить количество растений на каждый из годов. Можно записать это уравнение: \(x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x + 128x\), где каждый член уравнения соответствует году.
7. Воспользуемся геометрической прогрессией для упрощения уравнения. Здесь первый член прогрессии - \(x\), а знаменатель - 2. Выразим общее количество растений в геометрической прогрессии:
\[
x \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1}
\]
8. Выполнив вычисления, получаем:
\[
x \cdot 255 = 640 \cdot 255
\]
9. Решим это уравнение и найдем значение \(x\):
\[
x = \frac{640 \cdot 255}{255} = 640
\]
10. Таким образом, наш ответ: Екатерина насчитала 640 растений одуванчика за все восемь лет.

Пошаговое решение позволяет увидеть все этапы решения и более полно понять, как мы пришли к ответу.