В среднем, в 40% организаций происходят нарушения техники безопасности. Для проверки случайным образом выбираются

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как нам дано количество успешных испытаний (обнаружение нарушений) в определенном количестве испытаний (выборка организаций) с известной вероятностью успешного исхода (вероятность нарушений в организации).

а) Для нахождения вероятности обнаружения нарушений в 3 организациях из 8, мы воспользуемся формулой биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

где \(P(X = k)\) - вероятность того, что произойдет k успешных испытаний из n, \(C_n^k\) - количество сочетаний из n по k (в данном случае это сочетания из 8 по 3), \(p\) - вероятность успешного исхода (в данном случае вероятность нарушений), \(q\) - вероятность неуспешного исхода (в данном случае 1 - вероятность нарушений).

Для данной задачи имеем:

\(n = 8\) (количество испытаний),
\(k = 3\) (количество успешных испытаний),
\(p = 0.4\) (вероятность нарушений),
\(q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6\) (вероятность отсутствия нарушений).

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[P(X = 3) = C_8^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{8-3}\]

Вычислив эту формулу, получаем:

\[P(X = 3) = 56 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^5 \approx 0.27648\]

Таким образом, вероятность обнаружения нарушений в 3 организациях составляет примерно 0.27648.

б) Чтобы найти вероятность обнаружения нарушений в 2 или 3 организациях, мы должны найти вероятности обнаружения нарушений в 2 и в 3 организациях, а затем сложить эти вероятности.

Для вероятности обнаружения нарушений в 2 организациях мы можем использовать ту же формулу биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

где \(k = 2\).

Вычислим вероятность обнаружения нарушений в 2 организациях:

\[P(X = 2) = C_8^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{8-2}\]

\[P(X = 2) = 28 \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^6 \approx 0.30199\]

Для вероятности обнаружения нарушений в 3 организациях мы уже рассчитали это значение ранее:

\[P(X = 3) \approx 0.27648\]

Теперь сложим эти две вероятности, чтобы получить результирующую вероятность:

\[P(X = 2 \text{ или } 3) = P(X = 2) + P(X = 3)\]

\[P(X = 2 \text{ или } 3) \approx 0.30199 + 0.27648 \approx 0.57847\]

Таким образом, вероятность обнаружения нарушений в 2 или 3 организациях составляет примерно 0.57847.