В шкафу на кафедре математики хранятся 30 рулонов с плакатами. Из них 15 рулонов предназначены для занятий

Для решения этой задачи нам потребуется применить понятие вероятности. Вероятность — это численная характеристика случайного явления, определяющая, насколько оно вероятно произойти.

Дано: всего в шкафу хранятся 30 рулонов с плакатами, из которых 15 рулонов предназначены для занятий по аналитической геометрии, а 10 рулонов – по математическому анализу. Преподаватель наугад выбирает 5 рулонов.

а) Необходимо найти вероятность того, что среди выбранных рулонов окажутся ровно три рулона с плакатами по аналитической геометрии.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Существует возможность выбора 3 рулонов с плакатами по аналитической геометрии из 15 таких рулонов. В итоге имеем:

Количество способов выбрать 3 рулона с плакатами по аналитической геометрии: C(15, 3).

Существует также возможность выбора 2 рулонов из оставшихся 30 - 15 = 15 рулонов. В итоге имеем:

Количество способов выбрать 2 рулона из оставшихся: C(15, 2).

Так как нам не важен порядок выбора рулонов, мы можем использовать понятие сочетания.

Теперь найдем общее число всех возможных способов выбрать 5 рулонов из 30. Это можно сделать с помощью формулы C(30, 5). Теперь можем приступить к вычислениям:

Общее число всех возможных способов выбрать 5 рулонов из 30: C(30, 5).
Количество способов выбрать 3 рулона с плакатами по аналитической геометрии: C(15, 3).
Количество способов выбрать 2 рулона из оставшихся: C(15, 2).

Теперь можем найти вероятность того, что среди выбранных рулонов окажутся ровно три рулона с плакатами по аналитической геометрии:

\[ \text{ вероятность } = \frac{\text{ количество способов выбрать 3 рулона с плакатами по аналитической геометрии } \times \text{ количество способов выбрать 2 рулона из оставшихся }}{\text{ количество всех возможных способов выбрать 5 рулонов из 30 }} \]

\[ \text{ вероятность } = \frac{C(15, 3) \times C(15, 2)}{C(30, 5) } \]

Теперь давайте вычислим это:

\[ \text{ вероятность } = \frac{\binom{15}{3}\binom{15}{2}}{\binom{30}{5}} \]
\[ \text{ вероятность } \approx 0.150 \]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных рулонов окажутся ровно три рулона с плакатами по аналитической геометрии, составляет приблизительно 0.150.

b) Теперь давайте найдем вероятность того, что среди выбранных рулонов будут два рулона с плакатами по аналитической геометрии и два по математическому анализу.

Схожим образом, мы можем применить комбинаторику для поиска количества всех возможных способов выбрать 5 рулонов из 30, а затем подсчитать количество способов выбрать 2 рулона с плакатами по аналитической геометрии из 15 и 2 рулона с плакатами по математическому анализу из 10:

\[ \text{ вероятность } = \frac{\binom{15}{2}\binom{10}{2}}{\binom{30}{5}} \]
\[ \text{ вероятность } \approx 0.309 \]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных рулонов будут два рулона с плакатами по аналитической геометрии и два по математическому анализу, составляет приблизительно 0.309.