В секции учится группа из 30 школьников. У каждого школьника есть 10 врагов. Каждая дружба взаимна. Считается

Чтобы решить эту задачу, давайте подойдем к ней пошагово.

Шаг 1: Подсчитаем общее количество возможных троек школьников. У нас есть группа из 30 школьников, и нам не важен порядок, поэтому мы можем использовать сочетания без повторений. Формула для нахождения количества сочетаний из n элементов по k элементов записывается так:
$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Для данной задачи мы должны найти количество троек, поэтому k=3. Подставляя значения, получаем:
$$C(30,3)=\frac{30!}{3!(30-3)!}=\frac{30!}{3!27!}$$

Шаг 2: Теперь подсчитаем количество троек, в которых все школьники дружат друг с другом. У каждого школьника есть 10 врагов, значит, у него должно быть 19 друзей (остальные школьники в группе, исключая самого себя и своих врагов). Выбираем из 30 школьников по 3 для создания тройки, поэтому у нас есть
$$C(30,3)=\frac{30!}{3!(30-3)!}$$
троек, где все школьники являются друзьями.

Шаг 3: Теперь посчитаем количество троек, в которых все школьники враждуют друг с другом. У каждого школьника есть 10 врагов, значит, у него должно быть 29 недружественных отношений (остальные школьники в группе, исключая самого себя). Снова выбираем из 30 школьников по 3 для создания тройки, поэтому у нас есть
$$C(30,3)=\frac{30!}{3!(30-3)!}$$
троек, где все школьники не дружат друг с другом.

Шаг 4: Теперь найдем количество троек, где некоторые школьники дружат друг с другом, а некоторые враждуют друг с другом. Поскольку каждый школьник имеет 10 врагов, количество таких троек будет тем больше, чем больше "разнообразия" в отношениях между школьниками. Давайте разобьем этот шаг на две части: тройки с одним дружеским отношением и тройки с двумя дружескими отношениями.

Часть a: Количество троек со случаем одного дружеского отношения.
Выберем одного школьника, с которым остальные два будут друзьями, из 30 школьников. Затем выберем двух друзей для этого школьника из его 10 друзей. Разместим школьников в тройке. Таким образом, количество троек, где два школьника дружат, равно
$$C(30,1)\cdot C(10,2)=\frac{30!}{1!(30-1)!}\cdot \frac{10!}{2!(10-2)!}$$

Часть b: Количество троек со случаем двух дружеских отношений.
Выберем одного школьника, с которым остальные два будут враждовать, из 30 школьников. Затем выберем двух врагов для этого школьника из его 19 врагов. Разместим школьников в тройке. Таким образом, количество троек, где два школьника враждуют, равно
$$C(30,1)\cdot C(19,2)=\frac{30!}{1!(30-1)!}\cdot \frac{19!}{2!(19-2)!}$$

Шаг 5: Теперь сложим все результаты из шагов 2, 3, 4a и 4b для получения общего количества согласованных троек школьников.
$$Общееколичествосогласованныхтроек=\frac{30!}{3!(30-3)!}+\frac{30!}{3!(30-3)!}+\frac{30!}{1!(30-1)!}\cdot \frac{10!}{2!(10-2)!}+\frac{30!}{1!(30-1)!}\cdot \frac{19!}{2!(19-2)!}$$

Вычислив данное выражение, получим ответ на задачу.