В равностороннем треугольнике FBH, где BD является медианой и FH = 4, требуется найти скалярное произведение векторов

Для начала, давайте определимся с некоторыми обозначениями. Пусть точка F - это вершина равностороннего треугольника, а точки B и H - это концы медианы BD. Длина отрезка FH равна 4.

Мы можем воспользоваться свойствами скалярного произведения, чтобы решить эту задачу. Скалярное произведение двух векторов AB и CD можно вычислить по формуле:

\[AB \cdot CD = |AB| \cdot |CD| \cdot \cos{\theta}\]

где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Для нашей задачи, нам нужно найти скалярное произведение векторов FB и FH. Поскольку треугольник FBH равносторонний, длины векторов FB и FH равны. Поэтому мы можем записать:

\[FB \cdot FH = |FB| \cdot |FH| \cdot \cos{\theta}\]

Известно, что |FH| = 4. Теперь нам нужно найти длину вектора FB.

Так как треугольник FBH равносторонний, мы можем использовать свойство равных сторон. Это означает, что все стороны равностороннего треугольника равны. Пусть a - это длина стороны равностороннего треугольника FBH. Тогда длина вектора FB равна a.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину медианы BD, которая также равна a:

\[BD^2 = \frac{2}{3}a^2\]

Теперь, когда у нас есть длина медианы BD, мы можем найти длину вектора FB. Длина вектора FB равна половине длины медианы BD, поскольку FB - это половина медианы.

Итак, длина вектора FB равна:

\[|FB| = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}a^2} = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Теперь, мы можем подставить значение длины вектора FB в формулу скалярного произведения:

\[FB \cdot FH = |FB| \cdot |FH| \cdot \cos{\theta} = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot 4 \cdot \cos{\theta}\]

Осталось только найти угол \(\theta\) между векторами FB и FH. Так как треугольник FBH равносторонний, то угол между векторами FB и FH также равен 60 градусам.

Теперь мы можем подставить значение угла \(\theta\) в формулу для скалярного произведения:

\[FB \cdot FH = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ}\]

Вычислив \(\cos{60^\circ}\), мы получим:

\[FB \cdot FH = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2a}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, скалярное произведение векторов FB и FH равно \(\frac{2a}{\sqrt{3}}\).

Нам осталось только вычислить значение a. Мы знаем, что длина отрезка FH равна 4. Поэтому:

\[4 = \frac{2a}{\sqrt{3}}\]

Чтобы найти значение a, мы можем перемножить обе части уравнения на \(\sqrt{3}\) и разделить на 2:

\[a = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, скалярное произведение векторов FB и FH равно \(\frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\).

Итак, ответ на нашу задачу: скалярное произведение векторов FB и FH равно 4.