В равностороннем треугольнике FBH, где BD является медианой и FH = 4, требуется найти скалярное произведение векторов

Для начала, давайте определимся с некоторыми обозначениями. Пусть точка F - это вершина равностороннего треугольника, а точки B и H - это концы медианы BD. Длина отрезка FH равна 4.

Мы можем воспользоваться свойствами скалярного произведения, чтобы решить эту задачу. Скалярное произведение двух векторов AB и CD можно вычислить по формуле:

$$AB\cdot CD=|AB|\cdot |CD|\cdot \cos \theta$$

где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно, а $\theta$ - угол между этими векторами.

Для нашей задачи, нам нужно найти скалярное произведение векторов FB и FH. Поскольку треугольник FBH равносторонний, длины векторов FB и FH равны. Поэтому мы можем записать:

$$FB\cdot FH=|FB|\cdot |FH|\cdot \cos \theta$$

Известно, что |FH| = 4. Теперь нам нужно найти длину вектора FB.

Так как треугольник FBH равносторонний, мы можем использовать свойство равных сторон. Это означает, что все стороны равностороннего треугольника равны. Пусть a - это длина стороны равностороннего треугольника FBH. Тогда длина вектора FB равна a.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину медианы BD, которая также равна a:

$$B{D}^2=\frac{2}{3}{a}^2$$

Теперь, когда у нас есть длина медианы BD, мы можем найти длину вектора FB. Длина вектора FB равна половине длины медианы BD, поскольку FB - это половина медианы.

Итак, длина вектора FB равна:

$$|FB|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}{a}^2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

Теперь, мы можем подставить значение длины вектора FB в формулу скалярного произведения:

$$FB\cdot FH=|FB|\cdot |FH|\cdot \cos \theta =\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot 4\cdot \cos \theta$$

Осталось только найти угол $\theta$ между векторами FB и FH. Так как треугольник FBH равносторонний, то угол между векторами FB и FH также равен 60 градусам.

Теперь мы можем подставить значение угла $\theta$ в формулу для скалярного произведения:

$$FB\cdot FH=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot 4\cdot \cos {60}^{\circ }$$

Вычислив $\cos {60}^{\circ }$, мы получим:

$$FB\cdot FH=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, скалярное произведение векторов FB и FH равно $\frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Нам осталось только вычислить значение a. Мы знаем, что длина отрезка FH равна 4. Поэтому:

$$4=\frac{2a}{\sqrt{3}}$$

Чтобы найти значение a, мы можем перемножить обе части уравнения на $\sqrt{3}$ и разделить на 2:

$$a=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Таким образом, скалярное произведение векторов FB и FH равно $\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$.

Итак, ответ на нашу задачу: скалярное произведение векторов FB и FH равно 4.