В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол A составляет 120 градусов. Определяется высота треугольника

Решение:

Дано: равнобедренный треугольник ABC, где угол A равен 120 градусов, высота треугольника, проведенная из вершины B, равна 10.

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны. Обозначим длину стороны BC как a.

Так как угол A равен 120 градусам, остальные два угла, B и C, равны (180 - 120) / 2 = 30 градусов.

Теперь мы можем применить соотношение синусов в треугольнике ABC:
\[\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{\sin 120^\circ} \]

Угол 120 градусов находится вне диапазона известных значений синуса, поэтому нам следует использовать свойство синуса для угла суммы:
\[\sin 120^\circ = \sin (30^\circ + 90^\circ) = \cos 30^\circ \]

Таким образом, наше уравнение принимает следующий вид:
\[\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{\cos 30^\circ} \]

Теперь найдем значения синуса и косинуса 30 градусов. Обратите внимание, что сторона BC - это основание треугольника, поэтому косинус будет отношением стороны BC к гипотенузе треугольника.

\[\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
\[\cos 30^\circ = \frac{BC}{a} \]

Теперь мы можем установить уравнение:
\[\frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{BC}{a}} \]

Упростим его:
\[\frac{10 \cdot 2}{1} = \frac{a^2}{BC} \]

\[\frac{20}{1} = \frac{a^2}{BC} \]

Теперь у нас есть уравнение, в котором нам нужно найти длину стороны BC.
Мы можем применить теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где сторона BC является гипотенузой:
\[a^2 = BC^2 + 10^2 \]

Подставим это значение в наше уравнение:
\[\frac{20}{1} = \frac{BC^2 + 10^2}{BC} \]

Выразим BC в числовом виде:
\[20 = \frac{BC^2 + 10^2}{BC} \]

Умножим обе части уравнения на BC:
\[20BC = BC^2 + 100 \]

Приведем уравнение в квадратичную форму:
\[BC^2 - 20BC + 100 = 0 \]

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) решается по формуле D = b^2 - 4ac, где у нас a = 1, b = -20 и c = 100.
\[D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0 \]

Так как дискриминант равен нулю, это означает, что уравнение имеет один корень.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[BC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \]

Таким образом, длина стороны BC равна 10. Ответ: BC = 10.