В прямоугольном треугольнике FKM с углом F равным 90 градусам, известно, что гипотенуза KM равна 20, а площадь

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике FKM нам известны гипотенуза KM, равная 20, и площадь треугольника, равная 50. Найдем неизвестные углы K и M.

Для начала, посмотрим на формулу для площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\],
где S - площадь треугольника, a и b - длины двух сторон, а C - угол между этими сторонами.

В треугольнике FKM угол F равен 90 градусам, поэтому мы можем найти одно из значений углов K и M, используя известные данные. Очевидно, что угол K является прямым углом, поэтому K = 90 градусов.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[50 = \frac{1}{2} \cdot FK \cdot MK \cdot \sin(F) = \frac{1}{2} \cdot FK \cdot MK \cdot \sin(90)\].

Поскольку синус 90 градусов равен 1, формула упрощается до:

\[50 = \frac{1}{2} \cdot FK \cdot MK \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot FK \cdot MK\].

Из задачи также известно, что гипотенуза KM равна 20. Запишем это как уравнение:

\[MK^2 + FK^2 = KM^2\].

Подставим KM^2 = 20^2 и упростим уравнение:

\[MK^2 + FK^2 = 400\].

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\frac{1}{2} \cdot FK \cdot MK = 50\] (уравнение для площади треугольника),

\[MK^2 + FK^2 = 400\] (уравнение для гипотенузы).

Чтобы получить решение, мы можем решить эти два уравнения одновременно.

Давайте решим первое уравнение относительно FK:

\[FK = \frac{100}{MK}\].

Теперь подставим эту формулу во второе уравнение:

\[\left(\frac{100}{MK}\right)^2 + MK^2 = 400\].

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[\frac{10000}{MK^2} + MK^2 = 400\].

Умножим оба выражения на MK^2, чтобы убрать знаменатель:

\[10000 + MK^4 = 400 \cdot MK^2\].

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[MK^4 - 400 \cdot MK^2 + 10000 = 0\].

Чтобы решить это уравнение, введем новую переменную x = MK^2.

Тогда уравнение станет:

\[x^2 - 400x + 10000 = 0\].

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\].

Применяя эту формулу, мы получаем два возможных значения x:

\[x_1 = 200 + 20\sqrt{7} \approx 256.83\],
\[x_2 = 200 - 20\sqrt{7} \approx 143.17\].

Теперь найдем MK:

\[MK^2 = x_1 = 200 + 20\sqrt{7}\],
\[MK^2 = x_2 = 200 - 20\sqrt{7}\].

Извлекая квадратный корень, мы получаем два возможных значения для MK:

\[MK_1 = \sqrt{200 + 20\sqrt{7}} \approx 16.04\],
\[MK_2 = \sqrt{200 - 20\sqrt{7}} \approx 11.95\].

Теперь, когда мы знаем значения MK, мы можем вернуться к первому уравнению, чтобы найти FK:

\[FK = \frac{100}{MK}\].

Подставим найденные значения MK и вычислим FK:

\[FK_1 = \frac{100}{16.04} \approx 6.23\],
\[FK_2 = \frac{100}{11.95} \approx 8.36\].

Таким образом, мы получаем два возможных значения FK.

Итак, величины углов K и M в порядке возрастания через точку с запятой составляют:

\[K_1 = 90; M_1 \approx 11.95\],
\[K_2 = 90; M_2 \approx 16.04\].

Ответ: 90; 11.95 и 90; 16.04.