В прямоугольнике размером 4×6 одна клетка была вырезана (см. рисунок). Как много различных способов существует

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим несколько случаев.

1. Первый случай: новая вырезанная клетка находится на границе оставшейся фигуры.

В этом случае у нас есть 9 возможных позиций для новой клетки - 3 позиции по ширине и 3 позиции по высоте.

Рассмотрим каждую позицию по отдельности.

1.1 Позиция 1: Новая клетка находится в верхнем левом углу оставшейся фигуры.

В этом случае оставшаяся фигура станет прямоугольником размером 3x4. Мы можем разрезать его на прямоугольники 1x2 следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1 & 1 & 2 \\
\hline
1 & 1 & 2 \\
\hline
3 & 3 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]

Здесь цифрами обозначены прямоугольники размером 1x2. Итак, в этом случае есть 1 возможный способ вырезания новой клетки.

1.2 Позиция 2: Новая клетка находится на верхней границе оставшейся фигуры, но не в углу.

В этом случае оставшаяся фигура также станет прямоугольником размером 3x4. Мы можем разрезать его на прямоугольники 1x2 следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 2 \\
\hline
1 & 3 & 3 \\
\hline
1 & 4 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]

Здесь цифрами обозначены прямоугольники размером 1x2. В этом случае также есть 1 возможный способ вырезания новой клетки.

1.3 Позиция 3: Новая клетка находится в верхнем правом углу оставшейся фигуры.

В этом случае оставшаяся фигура станет прямоугольником размером 3x4. Мы можем разрезать его на прямоугольники 1x2 следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
2 & 2 & 1 \\
\hline
3 & 3 & 1 \\
\hline
4 & 4 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Здесь цифрами обозначены прямоугольники размером 1x2. В этом случае также есть 1 возможный способ вырезания новой клетки.

Таким образом, в первом случае всего 3 возможных способа вырезания новой клетки так, чтобы оставшуюся фигуру можно было разрезать на прямоугольники размером 1x2.

2. Второй случай: новая вырезанная клетка находится внутри оставшейся фигуры.

В этом случае мы можем вычислить количество возможных способов, применив принцип включения-исключения. Сначала посчитаем общее количество способов разрезания оставшейся фигуры на прямоугольники 1x2 без каких-либо ограничений.

Оставшаяся фигура - это прямоугольник размером 3x5. Количество способов вырезания еще одной клетки из этого прямоугольника равно (3 - 1) * (5 - 1) = 8.

Теперь посчитаем количество способов, когда новая вырезанная клетка будет находиться внутри оставшейся фигуры и не позволит разрезать ее на прямоугольники 1x2.

Есть две основные ситуации, которые мы должны исключить:

2.1. Новая клетка и ее непосредственные соседи образуют "большой прямоугольник" размером 2x3 внутри оставшейся фигуры.

В этом случае есть 4 возможных позиции для такого "большого прямоугольника" - 2 позиции по ширине и 2 позиции по высоте. Количество способов для каждой позиции - 2. Таким образом, существует 4 * 2 = 8 способов вырезания новой клетки, которые нам не подходят.

2.2. Новая клетка и ее непосредственные соседи образуют "длинный прямоугольник" размером 1x4 внутри оставшейся фигуры.

В этом случае есть 4 возможных позиции для такого "длинного прямоугольника" - 2 позиции по ширине и 2 позиции по высоте. Количество способов для каждой позиции - 2. Таким образом, существует 4 * 2 = 8 способов вырезания новой клетки, которые нам не подходят.

Чтобы получить общее количество способов вырезания новой клетки во втором случае, от общего числа способов вырезания (8) нужно вычесть количество способов, которые нам не подходят (8). Итого, во втором случае получаем 8 - 8 = 0 способов.

В итоге, общее количество способов вырезания новой клетки таким образом, чтобы оставшуюся фигуру можно было разрезать на прямоугольники размером 1x2, равно сумме способов из первого случая и второго случая.

В первом случае было 3 возможных способа, а во втором случае не было ни одного способа. Таким образом, всего у нас есть 3 + 0 = 3 способа вырезания новой клетки. Ответ: 3.