В прямоугольнике размером 3 на 100, составленном из 300 квадратов 1 на 1, сколько максимально можно провести диагоналей

Для решения этой задачи, сперва рассмотрим случай с 3-мя четырехугольниками, используя формулу \(C_n = \binom{n}{2}\), где \(n\) - количество точек.

1. Количество возможных диагоналей в одном четырехугольнике размером 1 на 1 (состоящем из 4 точек) равно \(C_4 = \binom{4}{2} = 6\).
2. В прямоугольнике размером 3 на 100 содержится 300 четырехугольников размером 1 на 1.

Теперь посмотрим на то, как можно соединять диагонали внутри этого прямоугольника.

3. Возьмем последовательность из 3 четырехугольников. В каждом четырехугольнике мы можем провести 6 диагоналей, поэтому общее количество диагоналей в трех четырехугольниках составит \(3 \times 6 = 18\).
4. При добавлении следующего четырехугольника возможны 2 случая: либо он будет "поглотать" 2 диагонали из предыдущих четырехугольников, либо он будет иметь общую внутреннюю точку с одной из предыдущих диагоналей. Продолжая эту логику, мы можем увидеть, что каждый новый четырехугольник добавляет 6 диагоналей, но теряет 2 диагонали, в результате чего добавляется только 4 диагонали.
5. Общее количество диагоналей будет равно сумме диагоналей в трех четырехугольниках и количеству диагоналей, добавленных каждым последующим четырехугольником.
\[\text{Общее количество диагоналей } = 18 + 4 \times (300-3) = 1170.\]

Таким образом, максимально можно провести 1170 диагоналей в квадратах так, чтобы никакие две диагонали не имели общих концов.