В прямом двугранном угле имеется отрезок AB, который расположен таким образом, что один конец отрезка находится в одной

Данная задача требует некоторых геометрических рассуждений и построений. Давайте решим ее шаг за шагом:

Шаг 1: Построение фигуры

Согласно условию, нам дан прямой двугранный угол (обозначим его AA1B1BB1) и отрезок AB, находящийся в разных гранях угла. Также известно, что от точек A и B до ребра угла AA1 расстояние равно 4 см, а от точек B и B1 до ребра угла BB1 также равно 4 см. Давайте построим фигуру согласно условию.

(Вложение изображения с построением фигуры)

Шаг 2: Рассмотрение треугольников

Нам нужно найти длину отрезка A1B1. Воспользуемся тригонометрическими соотношениями, рассмотрев треугольники:

- Треугольник ABA1: Он прямоугольный, поскольку ребро AB лежит в нем горизонтально. Расстояние от точки A до ребра AA1 равно 4 см. Обозначим угол BAA1 через α. Тогда по теореме синусов получаем: \(\frac{{AB}}{{\sin α}} = \frac{{4}}{{\sin 90°}}\). Так как синус 90° равен 1, получим \(AB = 4 \cdot \sin α\).

- Треугольник B1BB1: Также прямоугольный, поскольку ребро BB1 лежит в нем горизонтально. Расстояние от точки B до ребра BB1 равно 4 см. Обозначим угол BB1B1 через β. Тогда по теореме синусов получаем: \(\frac{{B1B}}{{\sin β}} = \frac{{4}}{{\sin 90°}}\). Так как синус 90° равен 1, получим \(B1B = 4 \cdot \sin β\).

Шаг 3: Нахождение длины отрезка A1B1

В треугольнике A1B1B, который также прямоугольный и имеет противоположные катеты A1A и B1B, мы можем использовать теорему Пифагора: \(A1B1^2 = A1A^2 + B1B^2\).
Подставляем полученные из шага 2 выражения для \(AB\) и \(B1B\):

\[A1B1^2 = (4 \cdot \sin α)^2 + (4 \cdot \sin β)^2\]

Подставляем данные из условия: \(A1B1 = 7\) см.

\[7^2 = (4 \cdot \sin α)^2 + (4 \cdot \sin β)^2\]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь решим уравнение для нахождения значений синусов α и β:

\[49 = 16 \cdot \sin^2 α + 16 \cdot \sin^2 β\]

Извлекаем корень и делим на 4:

\[1 = \sin^2 α + \sin^2 β\]

Это уравнение позволяет найти возможные комбинации значений для синусов α и β.

Шаг 5: Выбор подходящего значения

Чтобы получить конкретные значения синусов α и β, мы должны рассмотреть ограничения из условия задачи. Напомним, что отрезки AB и B1B каждый измеряет 4 см.

Поскольку равным 4 см является расстояние от точки A до ребра AA1, а синус имеет значение, которое всегда меньше или равно 1, то следует, что \(4 \cdot \sin α \leq 4\). Это означает, что \(\sin α \leq 1\), или, просто говоря, \(\sin α\) - это неотрицательное число.
Также аналогичное рассуждение можно провести для расстояния от точки B до ребра BB1.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что синусы α и β также неотрицательные.

Шаг 6: Нахождение значений синусов

Из уравнения \(1 = \sin^2 α + \sin^2 β\) следует, что нужно найти два неотрицательных синуса, сумма квадратов которых равна 1. Один такой синус - синус прямого угла, равный 1. Но так как оба синуса неотрицательные, мы можем сделать вывод, что другой синус должен быть равен нулю.

Именно поэтому синус α равен 1, а синус β равен 0.

Шаг 7: Вычисление длины отрезка A1B1

Теперь, когда мы знаем значения синусов α и β, мы можем вычислить длину отрезка A1B1 с помощью уравнения

\[7^2 = (4 \cdot \sin α)^2 + (4 \cdot \sin β)^2\]

Подставляем значения:

\[7^2 = (4 \cdot 1)^2 + (4 \cdot 0)^2 \]

\[49 = 16 + 0\]

Длина отрезка A1B1 составляет 7 см.

Итак, длина отрезка A1B1 равна 7 см.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным. Если у вас возникнут вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.