Какова площадь треугольника, образованного центрами трех касающихся друг друга шаров радиусами 1, 2

Чтобы найти площадь треугольника, образованного центрами трех касающихся друг друга шаров, радиусы которых равны 1, 2 и 3, мы можем использовать формулу герона. Формула герона позволяет нам найти площадь треугольника, зная длины его сторон.

Перед тем, как мы начнем, давайте назовем центры трех сфер как $A$, $B$ и $C$, и радиусы этих сфер соответственно как $r_1=1$, $r_2=2$ и $r_3=3$. Пусть $\mathrm{△}ABC$ - треугольник, образованный центрами этих трех сфер.

Теперь мы можем приступить к решению задачи:

1. Вычисление длины стороны треугольника AB:
Обратите внимание, что у нас есть радиусы $r_1=1$ и $r_2=2$. Соединяющая линия между центрами сфер $A$ и $B$ будет являться прямой, перпендикулярной линии касания этих двух сфер. Такая прямая называется радикальной осью. Длина радикальной оси между двумя касающимися сферами равна сумме их радиусов. В нашем случае, длина стороны AB будет равна $r_1+r_2=1+2=3$.

2. Вычисление длины стороны треугольника BC:
Аналогично, длина радикальной оси между сферами $B$ и $C$ будет равна сумме их радиусов $r_2+r_3=2+3=5$. Таким образом, длина стороны BC треугольника будет равна 5.

3. Вычисление длины стороны треугольника AC:
Сферы $A$ и $C$ также касаются друг друга. Их радиальная ось будет равна сумме радиусов $r_1+r_3=1+3=4$. Значит, длина стороны AC треугольника равна 4.

Теперь, у нас есть длины всех трех сторон треугольника: AB = 3, BC = 5 и AC = 4. Мы можем использовать формулу герона для нахождения площади треугольника.

Формула герона:
Пусть $s$ будет полупериметром треугольника, а $a,b,c$ - длины его сторон. Тогда площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:
$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Вычисление полупериметра:
Полупериметр $s$ вычисляется по формуле:
$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

Итак, подставляя значения сторон треугольника, мы получаем:
$$s=\frac{3+5+4}{2}=6$$

Теперь можем вычислить площадь:
$$S=\sqrt{6\cdot (6-3)\cdot (6-5)\cdot (6-4)}=\sqrt{6\cdot 3\cdot 1\cdot 2}=\sqrt{36}=6$$

Таким образом, площадь треугольника, образованного центрами трех касающихся друг друга шаров с радиусами 1, 2 и 3, равна 6.