Какова площадь треугольника, образованного центрами трех касающихся друг друга шаров радиусами 1, 2

Чтобы найти площадь треугольника, образованного центрами трех касающихся друг друга шаров, радиусы которых равны 1, 2 и 3, мы можем использовать формулу герона. Формула герона позволяет нам найти площадь треугольника, зная длины его сторон.

Перед тем, как мы начнем, давайте назовем центры трех сфер как \( A \), \( B \) и \( C \), и радиусы этих сфер соответственно как \( r_1 = 1 \), \( r_2 = 2 \) и \( r_3 = 3 \). Пусть \( \triangle ABC \) - треугольник, образованный центрами этих трех сфер.

Теперь мы можем приступить к решению задачи:

1. Вычисление длины стороны треугольника AB:
Обратите внимание, что у нас есть радиусы \( r_1 = 1 \) и \( r_2 = 2 \). Соединяющая линия между центрами сфер \( A \) и \( B \) будет являться прямой, перпендикулярной линии касания этих двух сфер. Такая прямая называется радикальной осью. Длина радикальной оси между двумя касающимися сферами равна сумме их радиусов. В нашем случае, длина стороны AB будет равна \( r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 \).

2. Вычисление длины стороны треугольника BC:
Аналогично, длина радикальной оси между сферами \( B \) и \( C \) будет равна сумме их радиусов \( r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5 \). Таким образом, длина стороны BC треугольника будет равна 5.

3. Вычисление длины стороны треугольника AC:
Сферы \( A \) и \( C \) также касаются друг друга. Их радиальная ось будет равна сумме радиусов \( r_1 + r_3 = 1 + 3 = 4 \). Значит, длина стороны AC треугольника равна 4.

Теперь, у нас есть длины всех трех сторон треугольника: AB = 3, BC = 5 и AC = 4. Мы можем использовать формулу герона для нахождения площади треугольника.

Формула герона:
Пусть \( s \) будет полупериметром треугольника, а \( a, b, c \) - длины его сторон. Тогда площадь треугольника \( S \) вычисляется по формуле:
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

Вычисление полупериметра:
Полупериметр \( s \) вычисляется по формуле:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]

Итак, подставляя значения сторон треугольника, мы получаем:
\[ s = \frac{3 + 5 + 4}{2} = 6 \]

Теперь можем вычислить площадь:
\[ S = \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-5) \cdot (6-4)} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 \]

Таким образом, площадь треугольника, образованного центрами трех касающихся друг друга шаров с радиусами 1, 2 и 3, равна 6.