В параллелограмме ABCD смежные стороны AB и BC имеют отношение 1:2. Точка E является серединой AD. Нужно доказать

Для доказательства того, что отрезок BE является биссектрисой угла B в параллелограмме ABCD, мы можем использовать несколько свойств и определений.

1. Поскольку точка E является серединой стороны AD, то отрезок DE равен отрезку EA:
\[DE = EA \quad \text{(1)}\]

2. В параллелограмме смежные стороны равны по длине. Таким образом, отрезок AB также равен отрезку BC. Пусть общая длина равна x:
\[AB = x, \quad BC = x \quad \text{(2)}\]

3. Поскольку AB и BC имеют отношение 1:2, мы можем записать их длины следующим образом:
\[AB = \frac{1}{3}x, \quad BC = \frac{2}{3}x \quad \text{(3)}\]

4. Теперь мы можем обратиться к треугольнику BDE. В нем мы можем применить теорему о биссектрисе: если в треугольнике из трех сторон проведена биссектриса угла, то отношение длин отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, равно отношению длин двух других сторон.
Используя это свойство, мы можем записать:
\[\frac{BD}{DE} = \frac{BC}{CE} \quad \text{(4)}\]

5. Из (1) имеем BD = DE. Подставим это в (4):
\[\frac{BD}{BD} = \frac{BC}{CE} \quad \text{(5)}\]

6. Очевидно, что отношение любого числа к самому себе равно 1. Поэтому (5) можно упростить:
\[1 = \frac{BC}{CE} \quad \text{(6)}\]

7. Из (3) и (6) мы видим, что \(\frac{BC}{CE} = \frac{\frac{2}{3}x}{CE} = \frac{2x}{3CE}\). Поэтому мы можем записать:
\[1 = \frac{2x}{3CE} \quad \text{(7)}\]

8. Чтобы упростить выражение, домножим обе части уравнения на \(3CE\):
\[3CE = 2x \quad \text{(8)}\]

9. Далее, из (2) мы видим, что \(AB = x\). Подставим это в (8):
\[3CE = 2 \cdot AB \quad \text{(9)}\]

10. Заметим, что стороны параллелограмма, смежные с углом B, равны между собой. То есть \(AB = BC = x\). Подставим это в (9):
\[3CE = 2 \cdot x \quad \text{(10)}\]

11. Упростим (10) и получим:
\[CE = \frac{2}{3}x \quad \text{(11)}\]

12. Мы получили, что CE равно 2/3 длины стороны AB. Но мы уже знаем, что сторона AB равна стороне BC. То есть, \(CE = \frac{2}{3}BC\). Это и означает, что отрезок BE делит сторону AC на две равные части, что является свойством биссектрисы угла B.

Таким образом, мы доказали, что отрезок BE является биссектрисой угла B в параллелограмме ABCD.