В параллелограмме ABCD, на стороне AB, выбрана точка P такая, что отношение AP:BP = 3:4. Определите площадь

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах параллелограмма и отношениях сторон и площадей фигур.

Дано, что в параллелограмме ABCD на стороне AB выбрана точка P такая, что отношение AP:BP = 3:4. По условию также известно, что точка Q является серединой стороны CD. Наша задача - определить площадь треугольника BPQ.

Для начала рассмотрим площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Пусть длина стороны AB равна a, а высота, опущенная на нее, равна h. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна S = a * h.

Теперь мы можем использовать отношение AP:BP = 3:4, чтобы найти отношение площадей треугольников APQ и BPQ. Поскольку отношение площадей равно квадрату отношения длин сторон, а сторона AP имеет длину, меньшую чем сторона BP в 3 раза (3:4), отношение площадей будет равно \((3/4)^2 = 9/16\).

Теперь рассмотрим треугольник BPQ. Поскольку точка Q является серединой стороны CD, то сторона BQ будет равна половине длины стороны CD. Обозначим длину стороны CD через b. Тогда длина стороны BQ будет равна b/2.

Так как отношение площадей треугольников BPQ и APQ равно 9/16, площадь треугольника BPQ будет равна площади треугольника APQ, умноженной на 16/9.

Теперь нам нужно выразить высоту треугольника APQ через длину стороны BP и площадь параллелограмма S.

Известно, что площадь треугольника равна произведению половины основы на высоту, опущенную на эту основу. Тогда площадь треугольника APQ равна S/2.

Таким образом, площадь треугольника BPQ равна \((S/2) * (16/9) = S * 8/9\).

Ответ: Площадь треугольника BPQ составляет \(S * 8/9\), где S - площадь параллелограмма ABCD.