В параллелепипеде ABCD есть точка A1B1C1D1, причем AB=5, BB1=7 и B1D=√110

Для решения этой задачи нам потребуются некоторые знания про параллелепипеды и связанные с ними свойства. Давайте-ка разберемся пошагово.

1. Обозначим параллелепипед ABCD следующим образом:
- A, B, C, D - вершины параллелепипеда.
- AB, BC, CD, DA, AC, BD - его ребра.

2. Теперь посмотрим на точку A1B1C1D1. Из условия задачи известно, что BB1 = 7 и B1D = √110. Нам также известно, что AB = 5.

3. Для нахождения положения точки A1B1C1D1 относительно параллелепипеда ABCD, построим вспомогательные отрезки.

- Построим отрезок BB1. Мы знаем, что BB1 = 7. Этот отрезок будет параллельным ребру AB и лежащим в плоскости, параллельной плоскости ABCD.
- Затем построим отрезок B1D. Мы знаем, что B1D = √110. Этот отрезок будет параллельным ребру BD и тоже лежать в плоскости, параллельной плоскости ABCD.

4. Точка A1 будет пересечением отрезков BB1 и B1D. Чтобы найти эту точку, нам понадобится вычислить координаты точек B1 и D.

- Координаты точки B1 можно получить, используя координаты точки B и направляющий вектор BB1. В данном случае, направляющий вектор BB1 будет сонаправлен с вектором AB.
- Координаты точки D можно получить, используя координаты точки B и направляющий вектор B1D.

5. Теперь рассчитаем координаты точек B1 и D.

- Координаты точки B: B(x, y, z).
- Координаты точки B1: B1(x + a, y + b, z + c), где a, b, c - проекции вектора BB1 на орты Ox, Oy, Oz соответственно.
- Координаты точки D: D(x + d, y + e, z + f), где d, e, f - проекции вектора B1D на орты Ox, Oy, Oz соответственно.

6. Для нахождения координат точек B1 и D, мы можем использовать соотношение между векторами BB1 и AB, а также между векторами B1D и BD.

- BB1 и AB - коллинеарны, поэтому можно записать соотношение \(\frac{{x + a - x}}{{5}} = \frac{{y + b - y}}{{0}} = \frac{{z + c - z}}{{0}}\) (здесь мы используем координаты точек B и B1).
- B1D и BD - коллинеарны, поэтому можно записать соотношение \(\frac{{x + d - x}}{{0}} = \frac{{y + e - y}}{{0}} = \frac{{z + f - z}}{{|BD|}}\) (где |BD| - длина вектора BD, которую мы пока не знаем).

Поскольку мы знаем, что BB1 = 7 и B1D = √110, мы можем решить эти уравнения относительно a, b, c, d, e, f.

7. Найдем координаты точки B1.

- Из первого соотношения получаем \(\frac{{x + a - x}}{{5}} = \frac{{y + b - y}}{{0}} = \frac{{z + c - z}}{{0}}\). Следовательно, a = 7.

Координаты точки B1: B1(x + 7, y, z)

8. Найдем координаты точки D.

- Из второго соотношения получаем \(\frac{{x + d - x}}{{0}} = \frac{{y + e - y}}{{0}} = \frac{{z + f - z}}{{|BD|}} = \sqrt{110}\). Следовательно, \(|BD| = \sqrt{110}\).

Координаты точки D: D(x, y, z + \(\sqrt{110}\))

9. Построив отрезки BB1 и B1D, найдем их пересечение, чтобы найти координаты точки A1.

- Найдем уравнения прямых, проходящих через отрезки BB1 и B1D, с помощью их направляющих векторов.
- Затем решим систему уравнений прямых, чтобы найти координаты точки их пересечения, то есть точку A1.

10. Получив координаты точки A1, мы сможем ответить на вопрос задачи и найти точку A1B1C1D1 в параллелепипеде ABCD.

В итоге, для полного решения задачи необходимо вычислить координаты точек B1, D и A1 и показать, что точка A1B1C1D1 действительно лежит в параллелепипеде ABCD, применяя свойства параллелепипедов.