В озере находится доска, которая погрузилась в воду на 2/3 своего объема. Затем на эту доску аккуратно положили

Когда первая доска погрузилась в воду на 2/3 своего объема, значит, объем, занимаемый ею под водой, составляет \(\frac{2}{3}\) от ее полного объема.

Мы знаем, что вода действует на каждую доску с силой, равной весу объема воды, вытесненного этой доской. Так как объем воды под первой доской составляет \(\frac{2}{3}\) от ее полного объема, то вес этой воды и сила, действующая на первую доску, составляют \(\frac{2}{3}\) от полного веса доски.

После того, как положили на первую доску еще две такие же доски, каждая из них находится под водой на такую же глубину, то есть каждая доска получает дополнительное вертикальное смещение h.

Общий вес трех досок и объем воды под третьей доской остаются неизменными после этого момента.

Обозначим через V объем одной доски и через W ее вес. Тогда при условии погружения первой доски на 2/3 своего объема имеем:

\[\frac{2}{3}VW = \frac{1}{3}VW + WD,\]

где D обозначает вес воды, вытесняемой третьей доской.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[\frac{2}{3}VW = \frac{1}{3}VW + WD,\]
\[\frac{2}{3}VW - \frac{1}{3}VW = WD,\]
\[\frac{1}{3}VW = WD.\]

Делим обе части уравнения на D:

\[\frac{1}{3} VW = W,\]
\[\frac{V}{3} = 1.\]

Отсюда следует, что объем V доски равен 3.

Теперь давайте найдем вертикальное смещение h для нижней доски. Объем воды, вытесняемой только нижней доской, равен объему одной доски.

Запишем уравнение:

\[a \cdot h = V,\]

где a - толщина доски, а h - искомое вертикальное смещение.

Подставим известные значения:

\[4,5 \cdot h = 3,\]

\[h = \frac{3}{4,5} = 0,67 \, \text{см}.\]

Полученное значение вертикального смещения h округляем до целого числа:

\[h \approx 1 \, \text{см}.\]

Таким образом, вертикальное смещение нижней доски составляет 1 сантиметр.