в остроугольном треугольнике АВС, у которого площадь составляет 12, высота ВВ1, проведенная к стороне AC, равна

Пусть сторона AC имеет длину x.

а) Для начала, найдем площадь треугольника ABC через высоту BB1:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB1\]
\[12 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4\]
\[12 = 2x\]
\[x = 6\]

Таким образом, длина стороны AC равна 6.

б) Чтобы найти величину угла АВС, воспользуемся определением площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\angle C\]
\[12 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 6 \cdot \sin\angle C\]
\[2 = AB \cdot \sin\angle C\]

Воспользуемся информацией, что треугольник АВС является остроугольным треугольником. В остроугольном треугольнике сумма углов равна 180 градусов. Также известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Следовательно, угол АВС также равен 180 градусов минус сумма углов треугольника.

\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B\]

Найдем угол А. Для этого воспользуемся треугольником ABВ1. В нем угол ABВ1 является прямым углом (как высота BB1), поэтому угол А равен 90 градусов.

Теперь найдем угол B. Используя теорему косинусов:

\[\cos \angle B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\]
\[\cos \angle B = \frac{4^2 + 6^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 6}\]
\[\cos \angle B = \frac{52}{48}\]
\[\cos \angle B = \frac{13}{12}\]

Находим величину угла B, зная косинус:

\[\angle B = \cos^{-1} \left( \frac{13}{12} \right)\]
\[\angle B \approx 22.62^\circ\]

Теперь можно найти величину угла АВС:

\[\angle AВС = 180^\circ - \angle A - \angle B\]
\[\angle AВС = 180^\circ - 90^\circ - 22.62^\circ\]
\[\angle AВС \approx 67.38^\circ\]

Таким образом, величина угла АВС составляет примерно 67.38 градусов.

в) Чтобы найти длину отрезка А1С1, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора для каждого из прямоугольных треугольников: АВ1С1 и ВВ1С1.

Для прямоугольного треугольника АВ1С1:

\[А1С1^2 = AB1^2 + B1С1^2\]
\[А1С1^2 = 4^2 + (AC - 6)^2\]
\[А1С1^2 = 16 + (6 - 6)^2\]
\[А1С1^2 = 16\]

Таким образом, длина отрезка А1С1 равна 4.