В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной 1 ед. на ребре A1D1 есть точка M, такая что A1M:MD1=1:1. Найдите синус угла ϕ между

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на более простые шаги.

Шаг 1: Найдем координаты точек A1, M, и D1.
Поскольку дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной 1, мы можем выбрать одну из его сторон, например, сторону A1D1, и назначить координаты A1 (0,0,0) и D1 (1,0,0).
Также, по условию дано, что отношение A1M к MD1 равно 1:1. Значит, точка M находится на срединном отрезке A1D1, поэтому ее координаты будут M(0.5, 0, 0).

Шаг 2: Найдем векторы AB и AD.
Точки A и B имеют координаты A(0, 1, 0) и B(0, 1, 1), соответственно. Для того чтобы найти вектор AB, мы должны вычесть координаты A из B: AB = B - A = (0, 1, 1) - (0, 1, 0) = (0, 0, 1).
Аналогично, вектор AD можно вычислить, вычитая координаты A из D: AD = D1 - A1 = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0).

Шаг 3: Найдем векторное произведение AB и AD.
Векторное произведение двух векторов AB и AD можно найти, используя формулу:

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right|$$

Это выражение даст нам вектор, перпендикулярный плоскости A1D1 и BB1D1. Вычислим его:

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(-1,-1,0)$$

Шаг 4: Найдем модуль вектора из шага 3.
Мы можем найти модуль данного вектора, использовав его координаты. Для этого просто возведем вектор в квадрат и извлечем квадратный корень:

$$|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+0^2}=\sqrt{2}$$

Шаг 5: Найдем длину вектора AM.
Вектор AM можно найти, вычтя координаты точки A из точки M: AM = M - A = (0.5, 0, 0) - (0, 1, 0) = (0.5, -1, 0).

Шаг 6: Найдем синус угла между вектором AM и вектором, полученным на шаге 3.
Формула для нахождения синуса угла между двумя векторами:

$$\sin (\varphi )=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AM}|}$$

Подставим значения и решим:

$$\sin (\varphi )=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{0.5}^2+(-1{)}^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1.25}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$$

Таким образом, синус угла $\varphi$ между прямой AM и плоскостью диагональной BB1D1 равен $\frac{2\sqrt{10}}{5}$.