Определите значения переменных x и y. Предоставьте решение

Хорошо, вот пошаговое решение задачи:

1. Пусть нам дана система уравнений:
\[
\begin{align*}
2x + 3y &= 7 \\
4x - 5y &= 1
\end{align*}
\]

2. Используем метод исключения, чтобы избавиться от одной из переменных. Умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3:
\[
\begin{align*}
4(2x + 3y) &= 4(7) \\
3(4x - 5y) &= 3(1)
\end{align*}
\]

3. Получаем новую систему уравнений:
\[
\begin{align*}
4 \cdot 2x + 4 \cdot 3y &= 28 \\
3 \cdot 4x - 3 \cdot 5y &= 3
\end{align*}
\]

4. Выполняем умножение:
\[
\begin{align*}
8x + 12y &= 28 \\
12x - 15y &= 3
\end{align*}
\]

5. Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от переменной x. Получим:
\[
(8x + 12y) - (12x - 15y) = 28 - 3
\]

6. Выполняем вычитание и упрощаем:
\[
8x + 12y - 12x + 15y = 25
\]

Таким образом, получаем:
\[
-4x + 27y = 25
\]

7. Теперь умножим первое изначальное уравнение на 4:
\[
4(2x + 3y) = 4(7)
\]

Производим умножение:
\[
8x + 12y = 28
\]

8. Теперь, когда у нас есть два уравнения с одной и той же переменной, мы можем решить систему уравнений, вычитая одно уравнение из другого:
\[
(-4x + 27y) - (8x + 12y) = 25 - 28
\]

9. Выполняем вычитание и упрощаем:
\[
-4x + 27y - 8x - 12y = -3
\]

Таким образом, получаем:
\[
-12x + 15y = -3
\]

10. Теперь имеем систему уравнений:
\[
\begin{align*}
-4x + 27y &= 25 \\
-12x + 15y &= -3
\end{align*}
\]

11. Продолжая метод исключения, умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 1:
\[
\begin{align*}
3(-4x + 27y) &= 3(25) \\
1(-12x + 15y) &= 1(-3)
\end{align*}
\]

12. Выполняем умножение:
\[
\begin{align*}
-12x + 81y &= 75 \\
-12x + 15y &= -3
\end{align*}
\]

13. Теперь вычтем второе уравнение из первого:
\[
(-12x + 81y) - (-12x + 15y) = 75 - (-3)
\]

14. Выполняем вычитание и упрощаем:
\[
-12x + 81y + 12x - 15y = 78
\]

Таким образом, получаем:
\[
66y = 78
\]

15. Разделим обе стороны на 66, чтобы найти значение y:
\[
y = \frac{78}{66}
\]

Выполняем деление:
\[
y = \frac{13}{11}
\]

16. Теперь, чтобы найти значение x, подставим найденное значение y в любое изначальное уравнение (я возьму первое уравнение):
\[
2x + 3 \cdot \frac{13}{11} = 7
\]

17. Выполняем умножение и сложение:
\[
2x + \frac{39}{11} = 7
\]

18. Вычитаем \(\frac{39}{11}\) из обеих сторон:
\[
2x = 7 - \frac{39}{11} = \frac{77}{11} - \frac{39}{11} = \frac{38}{11}
\]

19. Делим обе стороны на 2:
\[
x = \frac{\frac{38}{11}}{2} = \frac{38}{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{19}{11}
\]

Таким образом, мы получаем, что значения переменных x и y равны соответственно \(x = \frac{19}{11}\) и \(y = \frac{13}{11}\).