В кубе ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра равной 7, точка K на ребре BB1 отмечена так, что KB=4. На ребре AA1 выбраны оси

Для начала, давайте определим уравнение плоскости альфа, проходящей через точки K и C1 и параллельной прямой BD1.

Так как плоскость параллельна прямой BD1, то вектор, направленный вдоль прямой BD1, будет перпендикулярен нормали плоскости альфа. Вектор, направленный вдоль прямой BD1, можно найти как разность векторов AB1 и AD1:

\(\vec{BD1} = \vec{AB1} - \vec{AD1}\)

Так как все вершины куба нумеруются против часовой стрелки, то

\(\vec{AB1} = \vec{A1B} = -\vec{BA1}\) и \(\vec{AD1} = \vec{A1D} = -\vec{DA1}\)

Подставляя значения, получаем:

\(\vec{BD1} = -\vec{BA1} - (-\vec{DA1}) = \vec{DA1} - \vec{BA1}\)

Следовательно, нормаль плоскости альфа равна \(\vec{BD1}\).

Так как прямая BD1 проходит через точку B1, можно записать уравнение плоскости альфа в виде:

\(\vec{BD1} \cdot \vec{r} = \vec{BD1} \cdot \vec{B1P}\),

где \(\vec{r}\) - радиус-вектор точки на плоскости альфа, \(\vec{B1P}\) - радиус-вектор точки P на плоскости альфа, \(\cdot\) - скалярное произведение векторов.

Теперь найдем расстояние от вершины A до плоскости альфа. Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости:

\(d = \frac{{|\vec{BD1} \cdot \vec{BA}|}}{{|\vec{BD1}|}}\),

где \(\vec{BA}\) - радиус-вектор точки A.

Подставим значения и вычислим:

\[
\begin{align*}
\vec{BA} &= \vec{B1A} = -\vec{AB1} \\
|\vec{BD1}| &= |\vec{DA1} - \vec{BA1}| = |\vec{DA1} - \vec{A1B}| = |\vec{DA1} + \vec{AB1}| \\
&= |\vec{DA1} - \vec{BA}| = |\vec{DA} + \vec{AA1} - \vec{BA}| \\
&= |\vec{DA} - \vec{BA} + \vec{AA1}| \\
&= |-\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{AA1}| \\
&= |\vec{AA1}| \\
&= |\vec{A1A}| = |\vec{A} - \vec{A1}| \\
&= |\vec{A1} - \vec{A}| = |\vec{D1} - \vec{A}|
\end{align*}
\]

Так как D1 и A - симметричные точки относительно центра куба, то точка A симметрична относительно центра куба точке D1, а значит,

\(d = \frac{{|\vec{BD1} \cdot \vec{BA}|}}{{|\vec{BD1}|}} = \frac{{|\vec{DA1} \cdot \vec{D1A}|}}{{|\vec{DA1}|}}\).

Подставив числовые значения, найдем значение расстояния:

\[
\begin{align*}
\vec{DA1} &= \vec{D1A} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\vec{BD1} &= -\vec{AB1} - (-\vec{DA1}) = -\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\vec{BA} &= -\vec{AB1} = -\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align*}
\]

Теперь вычислим скалярное произведение:

\[
\begin{align*}
\vec{DA1} \cdot \vec{D1A} &= \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 7 \cdot 7 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 49 \\
|\vec{BD1}| &= |\vec{DA1}| = \sqrt{7^2 + 0^2 + 0^2} = 7 \\
d &= \frac{{|\vec{BD1} \cdot \vec{BA}|}}{{|\vec{BD1}|}} = \frac{{|\vec{DA1} \cdot \vec{D1A}|}}{{|\vec{DA1}|}} = \frac{{49}}{{7}} = 7.
\end{align*}
\]

Таким образом, расстояние от вершины A до плоскости альфа равно 7. Ответ: 7.0.