В какой момент времени, после броска маленького мячика под углом 60∘ к горизонту, его направление от точки броска

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать знания о движении тела под углом к горизонту. Для начала, определим время полета мячика.

Вертикально положение мячика в зависимости от времени задается формулой полета тела без сопротивления воздуха:
\[y(t) = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}\]
где \(y(t)\) - вертикальное положение мячика в момент времени \(t\),
\(v_0\) - начальная скорость мячика,
\(\theta\) - угол между начальной скоростью и горизонтом,
\(g\) - ускорение свободного падения.

Горизонтальное положение мячика в зависимости от времени задается формулой:
\[x(t) = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t\]
где \(x(t)\) - горизонтальное положение мячика в момент времени \(t\).

Нам интересно тот момент времени, когда направление мячика будет перпендикулярно к начальной скорости. Для этого воспользуемся определением перпендикулярности векторов. Два вектора будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Вектор начальной скорости мячика \(\mathbf{v_0}\) задается как \(\mathbf{v_0} = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot \mathbf{i} + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot \mathbf{j}\), где \(\mathbf{i}\) и \(\mathbf{j}\) являются ортами, указывающими горизонтальные и вертикальные направления соответственно.

Таким образом, чтобы определить момент времени, когда направление мячика перпендикулярно начальной скорости, достаточно найти время, при котором скалярное произведение векторов начальной скорости и положения мячика будет равно нулю.

Рассмотрим момент времени \(t\), при котором мячик находится в координатах \((x(t), y(t))\). Выпишем компоненты вектора положения \(\mathbf{r}(t)\) в момент времени \(t\):
\[\mathbf{r}(t) = x(t) \cdot \mathbf{i} + y(t) \cdot \mathbf{j}\]
Тогда скалярное произведение векторов \(\mathbf{v_0}\) и \(\mathbf{r}(t)\) можно выразить следующим образом:
\[\mathbf{v_0} \cdot \mathbf{r}(t) = (v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot \mathbf{i} + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot \mathbf{j}) \cdot (x(t) \cdot \mathbf{i} + y(t) \cdot \mathbf{j}) = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot x(t) + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot y(t)\]
Итак, если мы найдем время, при котором \(\mathbf{v_0} \cdot \mathbf{r}(t)\) равно нулю, то это будет момент времени, когда направление мячика станет перпендикулярным к начальной скорости.

Заменим значения \(x(t)\) и \(y(t)\) в выражении \(\mathbf{v_0} \cdot \mathbf{r}(t)\):
\[v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot x(t) + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot y(t) = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot (v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t) + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot (v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2})\]
Далее, упростим это выражение:
\[v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot (v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t) + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot (v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}) = (v_0^2 \cdot \cos^2(\theta) + v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)) \cdot t - \frac{g \cdot v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2} \cdot t^2\]
Заметим, что \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\), поэтому уравнение можно упростить еще больше:
\((v_0^2 \cdot \cos^2(\theta) + v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)) \cdot t - \frac{g \cdot v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2} \cdot t^2 = v_0^2 \cdot t - \frac{g \cdot v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2} \cdot t^2\)
Теперь, чтобы найти момент времени, при котором \(\mathbf{v_0} \cdot \mathbf{r}(t)\) равно нулю, нужно решить уравнение:
\[v_0^2 \cdot t - \frac{g \cdot v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2} \cdot t^2 = 0\]
Разделим это уравнение на \(v_0^2\):
\[t - \frac{g \cdot \sin^2(\theta)}{2} \cdot t^2 = 0\]
Теперь раскроем скобку и упростим:
\[-\frac{g \cdot \sin^2(\theta)}{2} \cdot t^2 + t = 0\]
Так как это квадратное уравнение, можно применить формулу дискриминанта, чтобы найти время:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 1 - 4 \cdot \left(-\frac{g \cdot \sin^2(\theta)}{2}\right) \cdot 1\]
\[D = 1 + 2g \cdot \sin^2(\theta)\]
Уравнение имеет два корня. Но, учитывая физический смысл задачи, нам интересен только положительный корень:
\[t = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[t = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2g \cdot \sin^2(\theta)}}{-\frac{g \cdot \sin^2(\theta)}{2}}\]
Теперь, подставим значения \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\) и \(\theta = 60^\circ\) в формулу и рассчитаем время \(t\).

\[t = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2 \cdot 9.8 \cdot \sin^2(60^\circ)}}{-\frac{9.8 \cdot \sin^2(60^\circ)}{2}}\]

Выполним необходимые вычисления:

\[t = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2 \cdot 9.8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2}}{-\frac{9.8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}}\]

\[t = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2 \cdot 9.8 \cdot \frac{1}{4}}}{-\frac{9.8}{4}}\]

\[t = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4.9 \cdot \frac{1}{4}}}{-\frac{9.8}{4}}\]

\[t = \frac{-1 + \sqrt{1 + 1.225}}{-2.45}\]

\[t = \frac{-1 + \sqrt{2.225}}{-2.45}\]

Вычисляем корень:

\[t = \frac{-1 + 1.49}{-2.45}\]

\[t = \frac{0.49}{-2.45}\]

\[t \approx -0.2 \, \text{с}\]

Так как физически невозможно время быть отрицательным, мы отсекаем отрицательное решение. Итак, момент времени, когда направление мячика станет перпендикулярным к начальной скорости, равен приблизительно \(0.2 \, \text{с}\).

Нужно отметить, что в этом решении мы не учитывали сопротивление воздуха, как было указано в условии задачи. Если бы мы учитывали сопротивление воздуха, то вычисления стали бы более сложными и результаты могли бы отличаться.