В каком порядке числа 1, 2, 3, . . . , 12 могут быть выписаны в строку? Они обозначены как a_{1}, a_{2}, a_{3}, .

Для решения данной задачи мы должны определить, какие числа могут быть выписаны в строку из чисел 1, 2, 3, ... , 12, а затем построить последовательность чисел \(b_1, b_2, b_3, ..., b_{12}\), суммируя предыдущие числа.

Начнем с того, что выразим все возможные комбинации чисел от 1 до 12. Варианты перестановок могут быть выписаны следующим образом:

\[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\]
\[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11\]
\[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 10, 12\]
...
(перечисление всех возможных перестановок было бы слишком длинным, поэтому будем считать, что они перечислены)

Итак, у нас есть все возможные комбинации чисел. Теперь мы можем построить последовательность \(b_1, b_2, b_3, ..., b_{12}\).

Давайте рассмотрим первый случай, когда числа выписаны в порядке от 1 до 12:

\[b_1 = a_1 = 1\]
\[b_2 = a_1 + a_2 = 1 + 2 = 3\]
\[b_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 2 + 3 = 6\]
...
\[b_{12} = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{12}\]

В этой последовательности мы видим, что каждое число \(b_i\) будет представлять собой сумму первых i чисел от 1 до 12. Например, \(b_3\) будет равно сумме чисел 1, 2 и 3.

Теперь рассмотрим второй случай, когда числа выписаны в обратном порядке от 12 до 1:

\[b_1 = a_{12} = 12\]
\[b_2 = a_{12} + a_{11} = 12 + 11 = 23\]
\[b_3 = a_{12} + a_{11} + a_{10} = 12 + 11 + 10 = 33\]
...
\[b_{12} = a_{12} + a_{11} + a_{10} + ... + a_1\]

В этой последовательности каждое число \(b_i\) также будет представлять собой сумму частичных сумм с конца. Например, \(b_3\) будет равно сумме чисел 12, 11 и 10.

Теперь мы должны определить, какое количество простых чисел будет встречаться среди чисел \(b_1, b_2, b_3, ..., b_{12}\) в каждом из случаев.

В первом случае, когда числа выписаны в порядке от 1 до 12, наибольшее количество простых чисел достигается, когда i-е число \(b_i\) будет представлять собой сумму i простых чисел (начиная с 2). Таким образом, максимальное количество простых чисел встречается при \(b_{12}\), где \(b_{12}\) будет равно сумме первых 12 простых чисел. С помощью формулы для нахождения i-го простого числа, мы можем вычислить это значение.

\[b_{12} = \text{{сумма первых 12 простых чисел}}\]

Во втором случае, когда числа выписаны в обратном порядке от 12 до 1, максимальное количество простых чисел также достигается, когда i-е число \(b_i\) будет представлять собой сумму i простых чисел (начиная с 2). Таким образом, максимальное количество простых чисел будет встречаться при \(b_1\), где \(b_1\) будет равно первому простому числу.

Итак, в ответе на вопрос задачи, максимальное количество простых чисел, которые могут встретиться среди чисел \(b_1, b_2, b_3, ..., b_{12}\), будет зависеть от порядка чисел в последовательности \(a_1, a_2, a_3, ..., a_{12}\). Если числа выписаны в порядке от 1 до 12, то максимальное количество простых чисел будет равно сумме первых 12 простых чисел. Если числа выписаны в обратном порядке от 12 до 1, то максимальное количество простых чисел будет равно первому простому числу.

Определить, какая из этих двух последовательностей даёт большее количество простых чисел, можно, вычисляя значения \(b_1\) для каждого случая и сравнивая их с числом простых чисел в сумме первых 12 простых чисел.