В каком диапазоне находится сумма корней уравнения 8^x^2 * 3^4x+2 = 27^x^2 * 2^4x+2?

Давайте решим данное уравнение пошагово для того, чтобы найти диапазон суммы корней.

Шаг 1: Преобразование уравнения
Исходное уравнение имеет экспоненты в основаниях и степенях. Чтобы решить его, приведем все основания к одному числу. Для этого воспользуемся свойствами степеней и записанными основаниями в виде простых чисел:
$8^{x^2}=(2^3{)}^{x^2}=2^{3x^2}$
$3^{4x+2}=3^{2(2x+1)}=(3^2{)}^{2x+1}=9^{2x+1}$
${27}^{x^2}=(3^3{)}^{x^2}=3^{3x^2}$
$2^{4x+2}=2^{2(2x+1)}=4^{2x+1}$

Теперь уравнение примет вид:
$2^{3x^2}\cdot 9^{2x+1}=3^{3x^2}\cdot 4^{2x+1}$

Шаг 2: Подготовка к решению
Если у нас есть две стороны уравнения, представляющие собой произведение, и мы хотим найти значения, при которых равенство выполняется, то мы можем исследовать каждый множитель по отдельности. В данном случае, у нас есть два множителя $2^{3x^2}$ и $9^{2x+1}$, а также два множителя $3^{3x^2}$ и $4^{2x+1}$.

Шаг 3: Первый множитель
Рассмотрим первый множитель $2^{3x^2}$. Мы знаем, что $2^{3x^2}$ представляет степенную функцию с основанием 2. Поскольку основание 2 является положительным числом, то $2^{3x^2}$ всегда будет положительным.

Шаг 4: Второй множитель
Рассмотрим второй множитель $9^{2x+1}$. Мы знаем, что $9^{2x+1}$ представляет степенную функцию с основанием 9. Основание 9 также является положительным числом и, следовательно, $9^{2x+1}$ всегда будет положительным.

Шаг 5: Третий множитель
Рассмотрим третий множитель $3^{3x^2}$. Мы знаем, что $3^{3x^2}$ представляет степенную функцию с основанием 3. Основание 3 является положительным числом, поэтому $3^{3x^2}$ всегда будет положительным.

Шаг 6: Четвертый множитель
Рассмотрим четвертый множитель $4^{2x+1}$. Мы знаем, что $4^{2x+1}$ представляет степенную функцию с основанием 4. Основание 4 является положительным числом, поэтому $4^{2x+1}$ также всегда будет положительным.

Шаг 7: Решение уравнения
Таким образом, все четыре множителя положительны при любом значении переменной $x$. Это означает, что мы можем домножить обе стороны уравнения на положительное число, в данном случае на 1, и сохранить эквивалентность уравнения.

Временно забудем об уравнении и посмотрим на задачу в целом. Если уравнение всегда верно, сумма корней будет тем же для любого значения $x$. Это означает, что сумма корней $\sum _{i=1}^n{x}_i$ будет равна сумме корней $\sum _{i=1}^n{y}_i$, где $y_i$ - любое значение, удовлетворяющее уравнению.

Таким образом, сумма корней не зависит от значения $x$ и остается постоянной, независимо от диапазона выбранных значений для переменной $x$. Мы не можем указать конкретный диапазон для суммы корней уравнения, так как это не зависит от переменной $x$.

В заключение, сумма корней уравнения $8^{x^2}\cdot 3^{4x+2}={27}^{x^2}\cdot 2^{4x+2}$ будет постоянной и не зависит от диапазона выбранных значений для переменной $x$.