В каких ситуациях система из трех уравнений с тремя переменными, представленная в матричном формате АХ = В, не имеет

Система из трех уравнений с тремя переменными может не иметь решений в следующих случаях:

1. Противоречивая система: Если в системе есть два или более уравнений, которые противоречат друг другу, то система считается противоречивой и не имеет решения. Например, рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{align*}
2x + 3y - 5z &= 1 \\
4x + 6y - 10z &= 2 \\
-4x - 6y + 10z &= -2 \\
\end{align*}
\]

В данном случае, первое и третье уравнение противоречат друг другу, так как одно получается умножением другого на -1. Поэтому данная система не имеет решений.

2. Линейно зависимая система: Если в системе есть два или более уравнений, которые являются пропорциональными друг другу, то систему называют линейно зависимой и она имеет бесконечное количество решений. Но если в итоговой матрице коэффициентов A есть нулевая строка, а соответствующий элемент в матрице B отличен от нуля, то данная линейно зависимая система не имеет решений. Рассмотрим пример:

\[
\begin{align*}
2x + 3y - 5z &= 1 \\
4x + 6y - 10z &= 2 \\
6x + 9y - 15z &= 3 \\
\end{align*}
\]

Путем преобразования последнего уравнения получаем, что оно является пропорциональным первому уравнению, то есть мы можем получить первое уравнение, умножив третье на 0.5. В таком случае, данная система будет иметь бесконечное множество решений. Однако, если мы рассмотрим систему в матричном формате, то получим A =

\[
\begin{bmatrix}
2 & 3 & -5 \\
4 & 6 & -10 \\
6 & 9 & -15 \\
\end{bmatrix}
\]

и B =

\[
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\]

Видно, что в данной матрице A имеется нулевая строка, и соответствующий элемент в матрице B не равен нулю. Поэтому данная система не имеет решений.

3. Неполная система: Если в системе есть одно или более уравнений, которые содержат одну и ту же переменную без каких-либо ограничений на ее значение, то система не имеет определенного решения и называется неполной. Рассмотрим пример:

\[
\begin{align*}
x + y + z &= 1 \\
2x - y + z &= 2 \\
\end{align*}
\]

В этом случае, третьего уравнения нет, и значение переменной z остается неопределенным. Данная система не имеет определенного решения.

Таким образом, система из трех уравнений с тремя переменными может не иметь решений в случае противоречивости системы, линейной зависимости уравнений или наличия неполной системы.