В данной задаче бросили Фарфоровый шарик радиусом 5 мм (плотность = 2,3 г/см3) в сосуд, заполненный подсолнечным маслом

Чтобы определить, будет ли фарфоровый шарик плавать на поверхности масла или упадет на дно сосуда, необходимо проанализировать силы, действующие на шарик.

Первая сила, оказывающая влияние на шарик - это сила тяжести \(F_{\text{т}}\). Эта сила стремится тянуть шарик вниз и определена как:
\[F_{\text{т}} = m \cdot g,\]
где \(m\) - масса шарика, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Вторая сила, которая должна быть учтена, - это сила Архимеда \(F_{\text{а}}\), которая возникает при погружении тела в жидкость. Сила Архимеда стремится толкнуть шарик вверх и определена как:
\[F_{\text{а}} = \rho_{\text{ж}} \cdot V \cdot g,\]
где \(\rho_{\text{ж}}\) - плотность жидкости (в данном случае масла), \(V\) - объем шарика, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Также, при движении шарика в жидкости, возникает вязкое трение \(F_{\text{в}}\), которое обусловлено взаимодействием шарика с молекулами масла. Вязкое трение определяется законом Ньютона и может быть выражено следующей формулой:
\[F_{\text{в}} = \eta \cdot S \cdot \frac{{dv}}{{dy}},\]
где \(\eta\) - вязкость масла, \(S\) - площадь соприкосновения шарика с маслом, \(v\) - скорость шарика и \(y\) - координата по вертикали.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если сумма сил тяжести и вязкого трения больше силы Архимеда, то шарик упадет на дно сосуда.
\[F_{\text{т}} + F_{\text{в}} > F_{\text{а}}\]

2. Если сила Архимеда превышает сумму сил тяжести и вязкого трения, то шарик будет плавать на поверхности масла.
\[F_{\text{а}} > F_{\text{т}} + F_{\text{в}}\]

Теперь проведем необходимые вычисления и сравним полученные значения сил.

1. Рассмотрим случай, когда шарик упадет на дно сосуда.

Масса шарика можно определить, используя следующую формулу:
\[m = \frac{{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{ф}}\],
где \(r\) - радиус шарика, а \(\rho_{\text{ф}}\) - плотность фарфора.

Объем шарика вычисляется по формуле:
\[V = \frac{{4}{3}\pi r^3\].

Подставим эти значения в формулы для силы тяжести и силы Архимеда:

\[F_{\text{т}} = \frac{{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{ф}} \cdot g\]\[F_{\text{а}} = \rho_{\text{ж}} \cdot V \cdot g = \rho_{\text{ж}} \cdot \frac{{4}{3}\pi r^3 \cdot g\].

Теперь вычислим значение вязкого трения.

Возьмем во внимание, что при движении по вертикали скорость \(v\) меняется, а высота \(y\) также меняется. Приравняем силу Архимеда и сумму сил тяжести и вязкого трения:

\[\rho_{\text{ж}} \cdot \frac{{4}{3}\pi r^3 \cdot g = \frac{{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{ф}} \cdot g + \eta \cdot S \cdot \frac{{dv}}{{dy}}\].

Для упрощения вычислений, мы можем предположить, что шарик движется медленно, поэтому изменение скорости по вертикали мало, а также пренебречь изменением объема шарика при движении:
\[V = \frac{{4}{3}\pi r^3\].

Теперь у нас есть уравнение:
\[\rho_{\text{ж}} \cdot V \cdot g = \frac{{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{ф}} \cdot g + \eta \cdot S \cdot \frac{{dv}}{{dy}}\].

Схематическая диаграмма, иллюстрирующая данную ситуацию, представлена ниже: