В-1. Сколько различных ожерелий можно смонтировать из 6 бусинок разных цветов, каждое ожерелье состоит из 6 бусинок?

В-1. Для решения данной задачи нам потребуется использовать комбинаторику.

1) Количество возможных ожерелий из 6 бусинок можно определить как количество способов выбора 6 различных бусинок из 6-ти, что равно 6! (факториал шести). Для решения этой задачи нам необходимо вычислить значение 6!:
\[6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720\]
Таким образом, можно смонтировать 720 различных ожерелий из 6 бусинок.

2) Для определения количества возможных комбинаций для выбора 3 человек из отдела, состоящего из 8 человек, можем использовать формулу сочетаний C(n, k), где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые необходимо выбрать из общего количества. В случае данной задачи, n = 8, k = 3:
\[C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\]
Таким образом, можно выбрать 56 комбинаций для поощрения 3 человек из отдела, состоящего из 8 человек.

3) Чтобы выбрать старосту и 4 равных члена совета из группы из 25 человек, мы можем использовать комбинации. Количество возможных комбинаций для выбора 4 человек из 24 (исключая старосту) можно определить следующим образом:
\[C(24, 4) = \frac{24!}{4! \cdot (24-4)!} = \frac{24!}{4! \cdot 20!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10,626\]
Теперь, чтобы выбрать старосту, мы можем выбрать 1 человека из 25 (включая всех) следующим образом:
\[C(25, 1) = \frac{25!}{1! \cdot (25-1)!} = \frac{25!}{1! \cdot 24!} = 25\]
Чтобы определить, какое общее количество возможных вариантов выбора старосты и 4 равных членов совета, мы умножаем количество возможных комбинаций для выбора 4 человек из 24 на количество возможных комбинаций для выбора старосты из 25:
\[10,626 \cdot 25 = 265,650\]
Таким образом, существует 265,650 возможных вариантов выбора старосты и 4 равных членов совета из группы из 25 человек.

4) Чтобы определить количество возможных вариантов разделения 4 разных подарков среди 10 человек, мы можем использовать комбинации. Количество возможных комбинаций можно определить следующим образом:
\[C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\]
Таким образом, существует 210 возможных вариантов разделения 4 разных подарков среди 10 человек.

5) В колоде содержится 36 карт. Возможностей для наступления события A (извлечение туза) существует 4 (4 туза в колоде), а для наступления события B (извлечение дамы) также существует 4 (4 дамы в колоде). Однако, события A и B несовместны, так как туз дамой не является. Поэтому, чтобы определить вероятность наступления события A или B, мы складываем вероятности наступления каждого события и вычитаем вероятность одновременного наступления обоих событий:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
\[P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\]
\[P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\]
\[P(A \cap B) = 0\]
\[P(A \cup B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - 0 = \frac{2}{9}\]
Таким образом, вероятность наступления события A или B равна \(\frac{2}{9}\).