Установить, каков порядок функций f1(x) и f2(x) относительно x на основе их значения в точке x0 и определить, являются

Данная задача требует определения порядка функций \(f_1(x)\) и \(f_2(x)\) относительно переменной \(x\), и проверки, являются ли функции бесконечно малыми или бесконечно большими в заданной точке \(x_0\). Также, необходимо сравнить данные функции и выделить их главные части.

Начнем с определения порядка функций. Для этого вычислим пределы данных функций по мере приближения переменной \(x\) к заданной точке \(x_0\). Для оценки порядка функций воспользуемся символами O и o.

1. Порядок функции \(f_1(x)\):
Дана функция \(f_1(x) = x^2 + 6x\). Чтобы найти порядок этой функции, мы должны вычислить предел функции по мере приближения \(x\) к \(x_0\):
\[\lim_{{x \to x_0}} \frac{{f_1(x)}}{{x}}\]

Решим выражение:
\[\lim_{{x \to x_0}} \frac{{x^2 + 6x}}{{x}} = \lim_{{x \to x_0}} (x + 6) = x_0 + 6\]

Таким образом, порядок функции \(f_1(x)\) относительно \(x\) равен 1, потому что предел равен конечному значению \(x_0 + 6\).

Теперь оценим, является ли функция \(f_1(x)\) в точке \(x_0\) бесконечно малой или бесконечно большой. Для этого проверим, равен ли предел функции 0:
\[\lim_{{x \to x_0}} f_1(x) = \lim_{{x \to x_0}} (x^2 + 6x) = x_0^2 + 6x_0\]

Если значение предела равно 0, то функция \(f_1(x)\) является бесконечно малой в точке \(x_0\), иначе функция не является бесконечно малой.

2. Порядок функции \(f_2(x)\):
Дана функция \(f_2(x) = \ln(1 + 2 \tg{x})\). Чтобы найти порядок этой функции, мы должны вычислить предел функции по мере приближения \(x\) к \(x_0\):
\[\lim_{{x \to x_0}} \frac{{f_2(x)}}{{x}}\]

Для вычисления данного предела нам понадобится использовать правило дифференцирования для нахождения производной функции \(\tg{x}\). Производная \(\tg{x}\) равна \(\sec^2{x}\).

Решим выражение:
\[\lim_{{x \to x_0}} \frac{{\ln(1 + 2 \tg{x})}}{{x}} = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{\ln(1 + 2 \tg{x})}}{{\tg{x} \cdot \sec^2{x}}} = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{\ln(1 + 2 \tg{x})}}{{\frac{{\sin{x}}}{{\cos{x}}} \cdot \frac{{1}}{{\cos^2{x}}}}} = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{\ln(1 + 2 \tg{x}) \cdot \cos^2{x}}}{{\sin{x}}} = \text{(применим правило Лопиталя)}\]
\[= \lim_{{x \to x_0}} \frac{{\frac{{2 \sec^2{x}}}{{1 + 2 \tg{x}}}}}{{\cos{x}}} = \lim_{{x \to x_0}} 2 \sec{x}\]

Таким образом, порядок функции \(f_2(x)\) относительно переменной \(x\) равен 1, так как предел равен конечному значению \(2 \sec{x_0}\).

Теперь проверим, является ли функция \(f_2(x)\) в точке \(x_0\) бесконечно малой или бесконечно большой. Для этого проверим, равно ли значение предела бесконечности:
\[\lim_{{x \to x_0}} f_2(x) = \lim_{{x \to x_0}} \ln(1 + 2 \tg{x}) = \ln(1 + 2 \tg{x_0})\]

Если значение предела равно бесконечности (плюс или минус), то функция \(f_2(x)\) является бесконечно большой в точке \(x_0\), иначе функция не является бесконечно большой.

Таким образом, после проведения вычислений мы определили порядок функций \(f_1(x)\) и \(f_2(x)\) относительно переменной \(x\) и проверили, являются ли они бесконечно малыми или бесконечно большими в заданной точке \(x_0\).