* Условие: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) В каком диапазоне находится длина отрезка

Здравствуйте! Давайте рассмотрим данную задачу поэтапно.

а) Для определения диапазона длины отрезка BC, нам нужно использовать тригонометрические соотношения. Рассмотрим треугольник BDC.

У нас дано, что \(\angle BDC = 60^\circ\) и \(BD = 4\) см.
Также известно, что \(\angle BDC + \angle DBC + \angle BCD = 180^\circ\) (сумма углов треугольника равна 180°).
Подставим известные значения и найдем значение угла \(\angle DBC\):

\(60^\circ + \angle DBC + 90^\circ = 180^\circ\)
\(\angle DBC + 150^\circ = 180^\circ\)
\(\angle DBC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\)

Теперь мы знаем, что \(\angle DBC = 30^\circ\). Для определения длины отрезка BC мы можем использовать тригонометрический закон синусов.

Тригонометрический закон синусов гласит:
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

В нашем случае у нас есть сторона BD (b), угол BDC (A) и сторона BC (c), которую нам нужно найти.
Применим тригонометрический закон синусов для треугольника BDC:

\(\frac{BD}{\sin \angle BDC} = \frac{BC}{\sin \angle DBC}\)
\(\frac{4}{\sin 60^\circ} = \frac{BC}{\sin 30^\circ}\)

Теперь выразим BC:

\(BC = \frac{4 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}\)

Проведем расчеты. Значения синуса 30° и 60° мы можем найти в таблице или использовать их приближенные значения:
\(\sin 30^\circ \approx 0.5\) и \(\sin 60^\circ \approx 0.87\)

\(BC = \frac{4 \cdot 0.5}{0.87}\)
\(BC \approx 2.3\) (округляем до одной десятой)

Таким образом, длина отрезка BC находится в диапазоне от 0 до 2.3 см.

б) Чтобы определить длину медианы PD, нам нужно использовать свойство треугольника, согласно которому медиана делит отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, пополам.

Так как мы не знаем длины отрезка BC, нам следует рассмотреть два случая: когда BC равна 0 и когда BC равна 2.3 см.

1. Когда BC = 0:
Треугольник BDC схлопывается в отрезок BD.
В этом случае медиана PD и сегмент BCPD будут совпадать, поэтому длина медианы PD будет равна длине отрезка BD.
Таким образом, длина медианы PD будет составлять 4 см.

2. Когда BC = 2.3 см:
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину медианы PD.
Треугольник BDC является прямоугольным треугольником, поэтому мы можем применить теорему Пифагора:

\(BD^2 = BP^2 + PD^2\)

Поскольку медиана PD делит отрезок из точки Биссектрисы ADD на две равные части, мы можем найти длину сегмента AD с помощью формулы:
\(AD = \frac{2}{3} \cdot BD\)
\(AD = \frac{2}{3} \cdot 4\)
\(AD = \frac{8}{3} \) см

Теперь мы можем найти PD, используя теорему Пифагора:

\(BD^2 = BP^2 + PD^2\)

Подставляем известные значения:

\(4^2 = \left(\frac{2}{3} \cdot BD\right)^2 + PD^2\)
\(16 = \left(\frac{2}{3} \cdot 4\right)^2 + PD^2\)
\(16 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 + PD^2\)
\(16 = \frac{64}{9} + PD^2\)

Теперь найдем PD:

\(PD^2 = 16 - \frac{64}{9}\)
\(PD^2 = \frac{144}{9} - \frac{64}{9}\)
\(PD^2 = \frac{80}{9}\)
\(PD = \sqrt{\frac{80}{9}}\)

Чтобы упростить выражение, нам нужно избавиться от корня:

\(PD = \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{9}}\)

Применяем свойство корня к числителю и знаменателю:

\(PD = \frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{3}\)
\(PD = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}}{3}\)
\(PD = \frac{4 \cdot \sqrt{5}}{3}\)

Упрощаем корень:

\(PD = \frac{4\sqrt{5}}{3}\)

Таким образом, длина медианы PD равна \(\frac{4\sqrt{5}}{3}\) см (округляем до одной десятой, если требуется).

Я надеюсь, что объяснение и вычисления были понятными для школьника.