І уровень 1. Не проводя вычислений, определите, значения каких выражений делятся на 7: 1) 36 : 49 + 14 : 60; 2) 21:30

Хорошо, давайте начнем с первого вопроса:

1) Мы можем определить, значения каких выражений делятся на 7, не проводя вычислений. Для этого разложим каждое выражение на простые множители и проверим, содержит ли оно множитель 7.

- Выражение 1: \(36 : 49 + 14 : 60\)

Разложим 36 на простые множители: \(36 = 2^2 \cdot 3^2\)

Разложим 49 на простые множители: \(49 = 7^2\)

Разложим 14 на простые множители: \(14 = 2 \cdot 7\)

Разложим 60 на простые множители: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)

Теперь сложим и делим: \(36 : 49 + 14 : 60 = \frac{2^2 \cdot 3^2}{7^2} + \frac{2 \cdot 7}{2^2 \cdot 3 \cdot 5}\)

Мы видим, что ни одно выражение не содержит множителя 7, поэтому ни одно из них не делится на 7.

2) Теперь перейдем ко второму вопросу.

- Что нужно найти среди чисел 900, 695, 738, 570, которые делятся на:

1) Чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы его последняя цифра была четной (0, 2, 4, 6 или 8), значит, числа 900 и 738 делятся на 2.

2) Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. В данном случае, только число 570 делится на 3, так как \(5 + 7 + 0 = 12\), и 12 делится на 3 без остатка.

3) Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. В данном случае, только число 900 делится на 5.

4) Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. В числах 900 и 738, сумма цифр равна 9, следовательно, они делятся на 9.

5) Чтобы число делилось на 10, его последняя цифра должна быть 0. В данном случае, только число 900 делится на 10.

Таким образом, ответы на второй вопрос: 900 делится на 2, 5 и 10; 738 делится на 2 и 9; 570 делится на 3 и 10.

3) Перейдем к третьему вопросу и найдем НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) чисел.

- Пункт 1: Найдем НОД и НОК чисел 9 и 6.

Для этого разложим числа на простые множители:

9 = \(3^2\)

6 = \(2 \cdot 3\)

НОД будет равен произведению общих простых множителей с наименьшей степенью: НОД(9, 6) = \(3^1\) = 3

НОК будет равен произведению всех простых множителей в наибольшей степени: НОК(9, 6) = \(2^1 \cdot 3^2\) = 18

Таким образом, НОД чисел 9 и 6 равен 3, а НОК равен 18.

- Пункт 2: Найдем НОД и НОК чисел 54 и 28.

Разложим числа на простые множители:

54 = \(2 \cdot 3^3\)

28 = \(2^2 \cdot 7\)

НОД(54, 28) = \(2^1\) = 2

НОК(54, 28) = \(2^2 \cdot 3^3 \cdot 7\) = 756

Таким образом, НОД чисел 54 и 28 равен 2, а НОК равен 756.

4) Давайте выполним деление с остатком числа 2658 на 13 и проведем проверку.

Деление с остатком выполняется следующим образом:

\[
\begin{align*}
2658 : 13 &= 204 \text{, остаток } 6 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, результат деления числа 2658 на 13 равен 204, а остаток равен 6.

Проверка делается путем умножения частного на делитель и прибавления остатка:

\[
\begin{align*}
204 \cdot 13 + 6 &= 2658 \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что результат равен исходному числу, следовательно, деление выполнено правильно.

5) Прочитаем диалоги из вопроса 8.17.

1) Сущесствует ли наибольшее простое число?

Нет, наибольшего простого числа не существует. Простые числа бесконечны, и можно найти простые числа сколь угодно большие, но нет конкретного наибольшего числа, так как всегда можно найти простое число, которое больше выбранного числа.

2) Что доказал П. Л. Чебышёв в отношении существования простых чисел?

П. Л. Чебышёв доказал, что между любыми двумя положительными числами всегда существует хотя бы одно простое число. Это известно как "теорема Чебышёва" или "чебышёвская оценка".

3) Какие числа называются совершенными? Сколько существует таких чисел?

Числа, для которых сумма всех своих делителей (кроме самого числа) равна самому числу, называются совершенными. Например, число 6 является совершенным, так как его делители (кроме самого числа) - 1, 2 и 3, и их сумма равна 6.

На данный момент известно несколько совершенных чисел, самые маленькие из которых - 6, 28, 496 и 8128. Однако точного ответа на вопрос, сколько существует совершенных чисел, пока неизвестно.