Уравнение окружности: x2+y2=49. Уравнение прямой: y=b. Найдите значения b, при которых... 1. ...прямая пересекает

Очень хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть уравнение окружности \(x^2 + y^2 = 49\) и уравнение прямой \(y = b\). Наша цель - найти значения \(b\), при которых эта прямая пересекает окружность в одной точке, двух точках или не пересекает окружность вовсе.

1. Пересечение прямой и окружности в одной точке:
Для того, чтобы прямая пересекала окружность в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы линия, соответствующая уравнению прямой \(y = b\), была касательной к окружности \(x^2 + y^2 = 49\). В этом случае, точка касания будет единственной, и у нас есть две возможности: точка касания может быть выше оси x или ниже нее.

Уравнение прямой \(y = b\) должно быть касательной к окружности \(x^2 + y^2 = 49\). Это означает, что у них должна быть общая точка касания. В точке касания, координаты x и y должны удовлетворять как уравнению прямой \(y = b\), так и уравнению окружности \(x^2 + y^2 = 49\).

Подставим \(y = b\) в уравнение окружности: \(x^2 + b^2 = 49\). Решим это уравнение:

\[x^2 = 49 - b^2\]

Теперь извлекаем квадратные корни:

\[x = \pm\sqrt{49 - b^2}\]

Таким образом, при значениях \(b = \pm\sqrt{47}\), линия \(y = b\) будет пересекать окружность только в одной точке.

2. Пересечение прямой и окружности в двух точках:
Для того, чтобы прямая пересекала окружность в двух точках, необходимо и достаточно, чтобы уравнение прямой \(y = b\) пересекалось с уравнением окружности \(x^2 + y^2 = 49\) в двух различных точках. Это возможно, если линия \(y = b\) проходит через окружность и пересекается с нею в двух различных точках.

Подставим \(y = b\) в уравнение окружности: \(x^2 + b^2 = 49\). Решим это уравнение:

\[x^2 = 49 - b^2\]

Таким образом, чтобы линия \(y = b\) пересекала окружность в двух точках, нужно, чтобы \(49 - b^2 > 0\), так как окружность находится вне области, замкнутой вокруг начала координат. Решим это неравенство:

\[49 - b^2 > 0\]

\[-b^2 > -49\]

\[b^2 < 49\]

\[|b| < \sqrt{49}\]

Таким образом, значения \(b = \pm 7\) позволят прямой пересечь окружность в двух точках.

3. Прямая не пересекает окружность:
Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда прямая \(y = b\) не пересекает окружность x^2 + y^2 = 49 ни в одной точке. Это происходит, когда линия проходит выше или ниже окружности, но не касается ее.

Если линия \(y = b\) проходит выше окружности, то координаты x и y удовлетворяют следующим условиям: \(y > \sqrt{49 - x^2}\). Это означает, что \(b > \sqrt{49 - x^2}\).

Если линия \(y = b\) проходит ниже окружности, то координаты x и y удовлетворяют следующим условиям: \(y < -\sqrt{49 - x^2}\). Это означает, что \(b < -\sqrt{49 - x^2}\).

Таким образом, если \(b > \sqrt{49}\) или \(b < -\sqrt{49}\), линия \(y = b\) не пересекает окружность ни в одной точке. Мы можем представить это значение \(b\) как \(\pm\infty\).

Итак, мы рассмотрели все три случая:

1. Прямая пересекает окружность в одной точке при \(b = \pm\sqrt{47}\).
2. Прямая пересекает окружность в двух точках при \(b = \pm 7\).
3. Прямая не пересекает окружность ни в одной точке при \(b = \pm\infty\).

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C