Уравнение круга: x2+y2=4. Уравнение прямой: y=b. Найдите значения b, при которых... (В вашем ответе для каждого пункта

Для решения данной задачи, нужно найти значения параметра \(b\), при которых прямая \(y = b\) пересекает окружность \(x^2 + y^2 = 4\) в различном количестве точек или вовсе не пересекает её.

1. Чтобы прямая пересекала круг в единственной точке, её график должен иметь только одну точку пересечения с окружность. Для определения такого значения \(b\) воспользуемся системой уравнений:
\[
\begin{cases}
y = b, \\
x^2 + y^2 = 4.
\end{cases}
\]
Подставим значение \(y\) из первого уравнения во второе:
\[
x^2 + b^2 = 4.
\]
Очевидно, что данное уравнение имеет решение только в том случае, когда прямая пересекает окружность в единственной точке. Решим уравнение относительно \(b^2\):
\[
b^2 = 4 - x^2.
\]
Чтобы прямая пересекала окружность только в одной точке, значения \(b^2\) в правой части уравнения должны быть положительными. Это возможно только в том случае, когда \(-2 \leq x \leq 2\) или, говоря иначе, когда \(x\) принадлежит интервалу от \(-2\) до \(2\). Таким образом, значение \(b^2\) должно быть положительным, а значит, можно записать условие:
\[
4 - x^2 > 0.
\]
Решив неравенство, получим:
\[
-2 < x < 2.
\]
Или, записывая результат в виде столбца:
\[
-2 < x < 2.
\]

2. Чтобы прямая пересекала круг в двух точках, её график должен иметь две точки пересечения с окружностью. Поступим аналогично первому пункту, подставляя значение \(y\) из первого уравнения во второе и решая полученное уравнение:
\[
\begin{cases}
y = b, \\
x^2 + y^2 = 4.
\end{cases}
\]
Таким образом, имеем:
\[
b^2 = 4 - x^2.
\]
Чтобы прямая \(y = b\) пересекала окружность \(x^2 + y^2 = 4\) в двух точках, значения \(b^2\) в правой части должны быть отрицательными. Это возможно только в том случае, когда \(|x| > 2\). Таким образом, значение \(b^2\) должно быть отрицательным, а значит, можно записать условие:
\[
4 - x^2 < 0.
\]
Решив полученное неравенство, получим:
\[
|x| > 2.
\]
Или, записывая результат в виде столбца:
\[
x < -2 \text{ или } x > 2.
\]

3. Чтобы прямая не пересекала круг ни в одной точке, график прямой \(y = b\) не должен пересекать окружность \(x^2 + y^2 = 4\) никогда. Для этого прямая должна проходить выше или ниже окружности на всем своем протяжении. Поскольку прямая \(y = b\) параллельна оси \(x\), она не пересекает окружность, если она находится полностью выше или ниже окружности. Таким образом, условиями непересечения являются два неравенства:
\[
b > 2 \text{ или } b < -2.
\]

Итак, найденные значения параметра \(b\) для каждого пункта задачи:
1. Прямая пересекает круг в единственной точке при \(-2 < x < 2\).
2. Прямая пересекает круг в двух точках при \(x < -2\) или \(x > 2\).
3. Прямая не пересекает круг ни в одной точке при \(b > 2\) или \(b < -2\).

Надеюсь, ответ был понятен! Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникли еще вопросы!