Упростите выражение sin²x - cos²x + tan²x

Конечно! Давайте разберемся с упрощением выражения \(\sin^2x - \cos^2x + \tan^2x\).

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы переписать тангенс в терминах синуса и косинуса. Формула, которую мы используем, называется "тангенс в виде отношения синуса и косинуса", и она выглядит так: \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\).

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

\(\sin^2x - \cos^2x + \frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)

Дальше приступим к упрощению.

Для объединения членов, содержащих синусы и косинусы, воспользуемся известной тригонометрической формулой "синус в квадрате плюс косинус в квадрате равен единице": \(\sin^2x + \cos^2x = 1\).

Применив данную формулу, получим:

\(1 + \frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)

Давайте упростим эту дробь. Для этого заменим ее на выражение, которое будет содержать только синусы.

Разделим числитель и знаменатель на \(\cos^2x\):

\(\frac{1}{\cos^2x} + \frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)

Мы знаем, что \(\frac{1}{\cos^2x} = \sec^2x\). Здесь \(\sec x\) обозначает секанс x.

Теперь можем заменить это в выражении:

\(\sec^2x + \sin^2x\)

Теперь мы видим, что полученное выражение \(\sec^2x + \sin^2x\) упрощается к \(\sec^2x + \sin^2x = 1\).

Таким образом, исходное выражение: \(\sin^2x - \cos^2x + \tan^2x\) упрощается к единице (1).

Надеюсь, это объяснение позволяет понять школьнику каждый шаг упрощения, и чтобы он ознакомился с основными тригонометрическими формулами. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их! Я готов помочь вам с любыми другими задачами или вопросами.