Какие три числа нужно вставить между 1/4 и 64, чтобы все числа вместе образовали геометрическую прогрессию?

Чтобы найти три числа, которые нужно вставить между \(1/4\) и \(64\) и чтобы все числа вместе образовали геометрическую прогрессию, нам необходимо найти общий знаменатель и шаг прогрессии.

Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию в общем виде:

\[a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\]

Где \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - шаг прогрессии.

У нас уже есть два члена прогрессии: \(1/4\) и \(64\). Первый член \(a\) равен \(1/4\), а последний член прогрессии равен \(64\).

Наша цель - найти общий знаменатель \(r\) и шаг прогрессии \(d\), чтобы получить прогрессию вида:

\[1/4, a, b, c, 64\]

Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно найти значение \(r\). Мы знаем, что:

\[64 = \frac{a}{r^3}\]

Мы также знаем, что:

\[\frac{a}{(4r)^3} = \frac{1}{4}\]

Упростив уравнение, получим:

\[4^3a = a\]

Перенеся все коэффициенты \(a\) на одну сторону, получаем:

\[a - 64a = 0\]

\[a(1 - 64) = 0\]

Таким образом, \(a = 0\) или \(1 - 64\). Ответ \(a\) должен быть положительным числом, поэтому выберем \(a = 1 - 64\), тогда \(a = -63\).

Теперь, у нас есть первый член \(a = -63\). Теперь мы можем найти шаг прогрессии \(r\):

\[\frac{64}{(-63)r^3} = \frac{1}{4}\]

Упростив уравнение, получаем:

\[256 = 64r^3\]

Разделим обе части уравнения на 64:

\[4 = r^3\]

Корень третьей степени из 4 равен 2:

\[r = 2\]

Таким образом, первое число, которое нужно вставить, равно \(ar = (-63) \cdot 2 = -126\).

Теперь, чтобы найти следующие два числа, умножим предыдущее число на шаг прогрессии.

Второе число равно \((-126) \cdot 2 = -252\).

Третье число равно \((-252) \cdot 2 = -504\).

Таким образом, три числа, которые нужно вставить между \(1/4\) и \(64\), чтобы все числа вместе образовали геометрическую прогрессию, это \(-126\), \(-252\) и \(-504\).

Нужны ли дополнительные объяснения или пояснения?