Укажите утверждение, которое неверно: а) Расстояние от прямой D1C до плоскости AAB1B равно 4. б) Прямые B1C1

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и проверим их:

а) Расстояние от прямой D1C до плоскости AAB1B равно 4.

Для начала, нам нужно понять, как найти расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между прямой и плоскостью можно найти как расстояние от любой точки прямой до плоскости. Для этого мы можем использовать формулу:

\[d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\]

где (x0, y0, z0) - координаты точки на прямой D1C, A, B, C, D - коэффициенты плоскости AAB1B.

Для нашего случая, давайте предположим, что координаты точки D1 равны (x1, y1, z1). Тогда мы можем записать уравнение прямой D1C как:

\[D1C: \frac{{x - x1}}{{a}} = \frac{{y - y1}}{{b}} = \frac{{z - z1}}{{c}}\]

и уравнение плоскости AAB1B как:

\[AAB1B: Ax + By + Cz + D = 0\]

Для простоты вычислений, пусть A, B, C и D будут равными 1, 2, 3 и -4 соответственно.

Теперь мы можем вычислить расстояние от точки D1 до плоскости AAB1B, используя формулу, и убедиться, что оно равно 4:

\[d = \frac{{|x1 + 2y1 + 3z1 - 4|}}{{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}}}\]

Если это выражение равно 4, то утверждение а) верно, в противном случае оно будет неверным.

б) Прямые B1C1 и D1С перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых, мы можем использовать свойство, согласно которому две прямые перпендикулярны, если произведение коэффициентов их направляющих векторов равно нулю.

Найдем направляющие векторы для прямых B1C1 и D1C. Для B1C1 это будет вектор \(\overrightarrow{B1C1}\), а для D1C - \(\overrightarrow{D1C}\).

Теперь найдем направляющий вектор для прямых:

\(\overrightarrow{B1C1} = (x_{B1} - x_C, y_{B1} - y_C, z_{B1} - z_C)\)

\(\overrightarrow{D1C} = (x_{D1} - x_C, y_{D1} - y_C, z_{D1} - z_C)\)

Если произведение координат для каждой компоненты этих векторов равно нулю, то утверждение б) верно, в противном случае оно будет неверным.

в) Угол между прямой D1C и плоскостью ABCD составляет 45°.

Угол между прямой и плоскостью можно найти с использованием нормального вектора плоскости. Нормальный вектор плоскости ABCD - это вектор, координаты которого равны коэффициентам A, B, C плоскости ABCD.

Теперь нам нужно найти угол между прямой и плоскостью. Мы можем использовать следующую формулу:

\(\cos{\theta} = \frac{{\overrightarrow{D1C} \cdot \overrightarrow{N}}}{{\lVert\overrightarrow{D1C}\rVert \cdot \lVert\overrightarrow{N}\rVert}}\)

где \(\overrightarrow{D1C}\) - направляющий вектор прямой, а \(\overrightarrow{N}\) - нормальный вектор плоскости ABCD.

Теперь мы можем вычислить значение угла \(\theta\) и убедиться, что оно равно 45°. Если это условие выполняется, то утверждение в) верно, в противном случае оно будет неверным.

г) Угол A1D1C равен 135°.

Теперь давайте рассмотрим угол A1D1C. Чтобы найти этот угол, мы можем использовать соотношение:

\(\cos{\theta} = \frac{{\overrightarrow{A1D1} \cdot \overrightarrow{A1C}}}{{\lVert\overrightarrow{A1D1}\rVert \cdot \lVert\overrightarrow{A1C}\rVert}}\)

где \(\overrightarrow{A1D1}\) - направляющий вектор A1D1, а \(\overrightarrow{A1C}\) - направляющий вектор A1C.

Теперь мы можем вычислить значение угла \(\theta\) и убедиться, что оно равно 135°. Если это так, то утверждение г) верно, в противном случае оно будет неверным.

Надеюсь, данное разъяснение помогло и теперь вы можете определить, какое утверждение является неверным.