У якому періоді тягарець, після його відтягування на 8 см вниз і відпуску, здійснює коливання? Які є рівняння

Період коливань тягарця визначається його масою \( m \) і силою відновлюючої сили \( F \), яка діє на нього. Згідно з законом Гука, сила відновлення залежить від відхилення тіла від положення рівноваги і обернено пропорційна його віддаленню від цього положення. Таким чином, сила відновлення може бути описана рівнянням

\[ F = -kx, \]

де \( k \) - коефіцієнт жорсткості пружини, \( x \) - відхилення тіла.

Щоб знайти період коливань \( T \), ми можемо скористатися другим законом Ньютона для коливного руху:

\[ F = ma, \]

де \( a \) - прискорення, \( m \) - маса тіла.

Підставивши значення сили відновлення \( F \) в це рівняння, отримуємо:

\[ -kx = ma. \]

Тепер можемо знайти прискорення \( a \):

\[ a = -\frac{k}{m}x. \]

Наступним кроком є розклад прискорення \( a \) на проекції на осі \( x \):

\[ a = \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x. \]

Отримуємо диференціальне рівняння другого порядку:

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0. \]

Це рівняння описує коливання тягарця.

Щоб знайти його період \( T \), ми можемо використовувати властивості рішення такого рівняння. Загальний вигляд рішення має наступний вигляд:

\[ x(t) = A\cos(\omega t + \phi), \]

де \( A \) - амплітуда коливань, \( \omega \) - кутова частота, \( \phi \) - фазовий кут.

Частота коливань \( f \) виражається як зворотний період:

\[ f = \frac{1}{T}, \]

а кутова частота \( \omega \) пов"язана зі звичайною частотою \( f \) наступним чином:

\[ \omega = 2\pi f. \]

Отже, період коливань можна знайти як:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi f} = \frac{1}{f}. \]

Таким чином, період коливань тягарця буде рівний оберненому значенню частоти коливань \( f \):

\[ T = \frac{1}{f}. \]

Для обчислення значення періоду нам потрібно знати коефіцієнт жорсткості пружини \( k \) і масу \( m \) тягарця. Завдання не містить додаткової інформації про ці значення, тому ми не можемо обчислити конкретне числове значення періоду. Однак, ми можемо описати загальну формулу для періоду коливань в залежності від цих параметрів:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. \]

Ця формула може бути використана для обчислення періоду коливань тягарця, якщо відомі значення маси та коефіцієнта жорсткості пружини.