У якій точці на кривій f(x)=3x^2-4x+6 дотична перпендикулярна прямій 8y+x-2=0?

Чтобы найти точку, в которой касательная к кривой \(f(x) = 3x^2 - 4x + 6\) перпендикулярна прямой \(8y + x - 2 = 0\), нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\).
Используя правила дифференцирования, найдем производную функции \(f(x)\).
\[f"(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 4x + 6)\]

Дифференцируя каждый член функции \(f(x)\) по отдельности, получим:
\[f"(x) = \frac{d}{dx} (3x^2) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(6)\]

Упрощаем:
\[f"(x) = 6x - 4\]

Шаг 2: Найдем угловой коэффициент прямой \(8y + x - 2 = 0\).
Перепишем уравнение прямой в уравнение вида \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент.
\[8y + x - 2 = 0\]
\[8y = -x + 2\]
\[y = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{4}\]

Сравнивая с уравнением \(y = mx + b\), видим, что \(m = -\frac{1}{8}\).
Угловой коэффициент прямой равен \(-\frac{1}{8}\).

Шаг 3: Найдем значение \(x\) для точки пересечения двух перпендикулярных прямых.
Так как касательная перпендикулярна прямой, то угловой коэффициент касательной будет обратным значением по отношению к угловому коэффициенту прямой.
\[m_1 = -\frac{1}{m_2}\]
\[m_1 = -\frac{1}{m_2} = -(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}\]

Значит, угловой коэффициент касательной равен \(\frac{1}{8}\).

Шаг 4: Найдем \(x\) для точки пересечения касательной и кривой.

Угловой коэффициент касательной равен \(f"(x)\), поэтому
\[\frac{1}{8} = 6x - 4\]

Решим уравнение относительно \(x\):
\[\frac{1}{8} = 6x - 4\]
\[\frac{1}{8} + 4 = 6x\]
\[\frac{33}{8} = 6x\]
\[x = \frac{\frac{33}{8}}{6} = \frac{33}{48} = \frac{11}{16}\]

Шаг 5: Найдем значение \(y\) для точки пересечения касательной и кривой.

Подставим найденное значение \(x\) в уравнение кривой \(f(x)\):
\[f(\frac{11}{16}) = 3(\frac{11}{16})^2 - 4(\frac{11}{16}) + 6\]

Выполняем расчеты:
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{363}{256} - \frac{44}{16} + 6\]
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{363}{256} - \frac{176}{16} + \frac{96}{16}\]
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{363}{256} - \frac{176 + 96}{16}\]
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{363}{256} - \frac{272}{16}\]
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{363}{256} - \frac{17}{16}\]
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{363 - 17 \cdot 16}{256}\]
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{363 - 272}{256}\]
\[f(\frac{11}{16}) = \frac{91}{256}\]

Итак, точка пересечения касательной и кривой: \(\left(\frac{11}{16}, \frac{91}{256}\right)\).