У вас есть параллелограмм. Соедините точки на двух соседних сторонах параллелограмма с его вершинами, как показано

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах параллелограмма и методе разбиения фигур на более простые формы. Допустим, что параллелограмм имеет стороны \( AB \) и \( AD \), а точки, соединяющие вершины с соответствующими сторонами, обозначены как \( P \), \( Q \), \( R \) и \( S \), как показано на изображении.

\[
\begin{array}{cccc}
& P & Q \\
A & & & B \\
& S & R \\
\end{array}
\]

Обозначим площади серых областей как \( A_1 \), \( A_2 \) и \( A_3 \). Наша задача состоит в определении площади четвертой серой области, обозначим ее как \( A_4 \).

Шаг 1: Разбиение фигуры

Для начала, давайте разобьем параллелограмм на более простые части. Мы можем разделить его на два прямоугольника и два треугольника, как показано на изображении:

\[
\begin{array}{cccc}
& P & Q \\
A & \cdot & \cdot & B \\
& S & R \\
\end{array}
\]

Мы также видим, что каждая серая область состоит из частей прямоугольников и треугольников.

Шаг 2: Рассмотрение площадей областей

Известные площади \( A_1 \), \( A_2 \) и \( A_3 \) показывают, что:

\( A_1 \) состоит из прямоугольника \( APSB \) и треугольника \( APQ \).
\( A_2 \) состоит из прямоугольника \( BQRC \) и треугольника \( BRS \).
\( A_3 \) состоит из прямоугольника \( APDS \) и треугольника \( ARD \).

Шаг 3: Определение площади \( A_4 \)

Теперь мы можем использовать полученную информацию для определения площади \( A_4 \). Заметим, что \( A_4 \) состоит из двух треугольников и двух прямоугольников.

Используя свойство параллелограмма, мы можем заключить, что треугольники \( APQ \) и \( BRS \) имеют одинаковую площадь, так как они имеют одинаковую высоту и базу. То есть,

\[ A(APQ) = A(BRS) = \frac{1}{2} \cdot A_1. \]

Также, треугольники \( APD \) и \( BRD \) также имеют одинаковую площадь, так как они имеют одинаковую высоту и базу. То есть,

\[ A(APD) = A(BRD) = \frac{1}{2} \cdot A_3. \]

Остается только вычислить площади прямоугольников. Из свойств параллелограмма, мы знаем, что прямоугольники \( APSB \) и \( BQRC \) имеют одинаковую площадь. То есть,

\[ A(APSB) = A(BQRC) = \frac{1}{2} \cdot A_2. \]

Теперь мы можем найти площадь \( A_4 \):

\[
\begin{align*}
A_4 &= A(APSB) + A(APQ) + A(BRS) + A(APD) + A(BRD) \\
&= \frac{1}{2} \cdot A_2 + \frac{1}{2} \cdot A_1 + \frac{1}{2} \cdot A_1 + \frac{1}{2} \cdot A_3 + \frac{1}{2} \cdot A_3 \\
&= \frac{1}{2} \cdot (A_1 + A_2 + A_3).
\end{align*}
\]

Таким образом, \( A_4 \) равна половине суммы площадей \( A_1 \), \( A_2 \) и \( A_3 \).

Это и есть ответ на задачу: площадь четвертой серой области равна половине суммы площадей трех известных серых областей, то есть \( A_4 = \frac{1}{2} \cdot (A_1 + A_2 + A_3) \).