У вас есть ABCD трапеция. Прямые BB1 и CC1 перпендикулярны плоскости ABC. Стороны AB и CD равны 15. Площадь фигуры

Для нахождения угла между плоскостями ABC и AB1C1, нам необходимо воспользоваться некоторыми свойствами геометрии и формулами.

Обозначим угол между плоскостью ABC и AB1C1 как \( \theta \).

Так как прямые BB1 и CC1 перпендикулярны плоскости ABC, то они являются высотами трапеции ABCD. Из этого следует, что площадь фигуры AB1C1D равна половине произведения суммы оснований и высоты:
\[ S_{AB1C1D} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h \]

Также дано, что площадь фигуры AB1C1D равна \( 108\sqrt{3} \). Подставим известные значения и перепишем формулу:
\[ 108\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (15 + 15) \cdot h \]

Решим полученное уравнение, чтобы найти высоту трапеции:
\[ 108\sqrt{3} = 30 \cdot h \]
\[ h = \frac{108\sqrt{3}}{30} \]
\[ h = 6\sqrt{3} \]

Теперь мы можем использовать полученную высоту трапеции, чтобы найти синус угла \( \theta \). Для этого воспользуемся формулой синуса:
\[ \sin \theta = \frac{h}{AB1} \]

Обратите внимание, что сторона AB1 трапеции ABCD является диагональю треугольника AB1C1D, и её длину нам необходимо найти.

Используем для этого теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AB1D:
\[ AB1^2 = AB^2 + B1D^2 \]

Так как AB и CD равны 15, основания трапеции ABCD равны друг другу и равны 15. Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:
\[ AB1^2 = 15^2 + B1D^2 \]

Поскольку сторона B1D является высотой треугольника AB1C1D, то она равна высоте трапеции:
\[ B1D = h = 6\sqrt{3} \]

Подставим известные значения и найдем длину стороны AB1:
\[ AB1^2 = 15^2 + (6\sqrt{3})^2 \]
\[ AB1^2 = 225 + 108 \]
\[ AB1^2 = 333 \]
\[ AB1 = \sqrt{333} \]

Теперь мы можем вычислить синус угла \( \theta \):
\[ \sin \theta = \frac{h}{AB1} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{333}} \]

Окончательный ответ:
\[ \theta = \arcsin \left( \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{333}} \right) \]

Для получения численного значения угла \( \theta \) необходимо воспользоваться калькулятором или математическим программным обеспечением.