У треугольнике ABC с прямым углом стороны АС и ВС равны 5 и 9 соответственно. Найдите скалярное произведение векторов

Для начала, нам нужно найти вектора \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\). Для этого, мы можем использовать координатную систему и расстояния между точками.

Рассмотрим вектор \(\vec{BA}\). Пусть точка B имеет координаты (0, 0), а точка A имеет координаты (x, y). Поскольку точка B является началом вектора \(\vec{BA}\), то этот вектор можно записать как:

\(\vec{BA} = \begin{pmatrix} x-0 \\ y-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

Теперь, чтобы найти численные значения координат точки A, нам понадобится использовать факт о прямом треугольнике ABC. По условию, сторона AC равна 5 и сторона BC равна 9.

Мы знаем, что стороны треугольника могут быть выражены в виде длин векторов. Так как мы уже нашли вектор \(\vec{BA}\), мы можем найти вектор \(\vec{BC}\) следующим образом:

\(\vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AC}\)

Поскольку вектор \(\vec{BA}\) идет из точки B в точку A, мы можем найти вектор \(\vec{BC}\) следующим образом:

\(\vec{BC} = \vec{BA} - \vec{AC}\)

Теперь нам осталось найти вектор \(\vec{AC}\). Поскольку точка C имеет координаты (x, 0), мы можем записать вектор \(\vec{AC}\) следующим образом:

\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} x-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}\)

Теперь мы можем записать вектор \(\vec{BC}\) следующим образом:

\(\vec{BC} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-x \\ y-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}\)

Зная, что вектор \(\vec{BC}\) равен \(\begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}\), мы можем записать его длину как модуль этого вектора:

\(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + y^2} = \sqrt{y^2} = |y|\)

Из условия задачи мы знаем, что длина стороны BC равна 9, так что:

\(|\vec{BC}| = |y| = 9\)

Теперь мы можем найти два возможных значения для y:

\(y = 9\) или \(y = -9\)

Таким образом, вектор \(\vec{BC}\) может быть двух видов: \(\begin{pmatrix} 0 \\ 9 \end{pmatrix}\) или \(\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \end{pmatrix}\).

Наконец, мы можем найти скалярное произведение векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) следующим образом:

\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = x \cdot 0 + y \cdot 9 = 0 \cdot x + 9y = 9y\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) равно \(9y\), где \(y\) может быть равно 9 или -9.