У треугольника ABC угол A равен 60°, АВ равно 4 дм. Найдите длины сторон треугольника и радиус R описанной около него

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, \(A\), \(B\), и \(C\) - соответствующие им углы.

У нас дано значение угла \(A\), равное 60°, и сторона \(AB\), равная 4 дм.

Чтобы найти длину сторон треугольника, мы должны найти значения углов \(B\) и \(C\). Так как сумма углов треугольника равна 180°, можем вычислить:

\(\angle B = 180° - \angle A - \angle C\)

Так как мы знаем значение угла \(A\) и сторону \(AB\), мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину стороны \(BC\):

\(\frac{4}{\sin 60°} = \frac{BC}{\sin B}\)

Таким образом, мы можем выразить длину стороны \(BC\) через синус угла \(B\). Для упрощения расчетов, заменим синус 60° на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\sin B}\)

Упростим:

\(\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{\sin B}\)

Теперь, чтобы найти значение угла \(C\), мы можем использовать тот факт, что сумма углов треугольника равна 180°:

\(\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - \angle B = 120° - \angle B\)

Теперь мы можем использовать значение угла \(C\) и теорему синусов, чтобы найти длину стороны \(AC\):

\(\frac{4}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin C}\)

Заменим синус 60° на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\sin (120° - \angle B)}\)

Упростим:

\(\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{AC}{\sin (120° - \angle B)}\)

Таким образом, мы получили два уравнения:

\(\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{\sin B}\)

\(\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{AC}{\sin (120° - \angle B)}\)

Теперь остается решить эти уравнения, чтобы найти значения длин сторон \(BC\) и \(AC\).

Чтобы найти радиус \(R\) описанной окружности, возьмем любую из сторон треугольника (допустим, сторону \(AB\)) и применим следующую формулу:

\(R = \frac{a}{2\sin A}\)

Подставим значения:

\(R = \frac{4}{2\sin 60°}\)

Упростим:

\(R = \frac{4}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(R = \frac{4}{\sqrt{3}}\)

Таким образом, мы нашли длины сторон треугольника и радиус описанной окружности. Длина стороны \(BC\) равна \(\frac{8}{\sqrt{3}}\), длина стороны \(AC\) равна \(\frac{8}{\sqrt{3}}\), а радиус описанной окружности равен \(\frac{4}{\sqrt{3}}\).